행렬식(determinant)은 행렬의 성질을 요약하는 값으로, 선형대수학에서 매우 중요한 역할을 합니다. 특히 역행렬의 존재 여부, 선형 독립성, 선형 변환의 부피 변화 등을 판별할 수 있습니다. 본 글에서는 여인수 전개(cofactor expansion)를 이용하여 행렬식을 계산하는 방법을 구체적으로 살펴봅니다.
1. 행렬식이란?
정방행렬(\( n \times n \))에 대해 정의되며, 특정 연산을 통해 하나의 수로 요약됩니다. 기하학적으로는 선형 변환에 의해 변형된 공간의 부피를 의미합니다.
2. 2차 및 3차 행렬식 복습
2차 행렬 \( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \)의 행렬식은:
\[ \det(A) = ad – bc \]
3차 행렬은 사루스(Sarrus) 법칙 또는 여인수 전개를 통해 계산할 수 있습니다.
3. 여인수(cofactor)의 정의
\( a_{ij} \): \( i \)행 \( j \)열의 원소
\( M_{ij} \): \( a_{ij} \)를 제거한 나머지 \( (n-1) \times (n-1) \) 행렬의 행렬식 (소행렬식, minor)
\( C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} \): 여인수(cofactor)
4. 여인수 전개법
\( n \times n \) 행렬 \( A \)의 행렬식은 한 행 또는 열을 기준으로 여인수를 곱해 더하는 방식으로 구합니다.
예를 들어 첫 번째 행을 기준으로:
\[ \det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots + a_{1n}C_{1n} \]
또는 임의의 열을 기준으로도 가능하며, 보통 0이 많은 행/열을 선택하여 계산을 간단하게 합니다.
5. 예제: 3차 행렬
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{bmatrix} \]
첫 번째 행을 기준으로 여인수 전개:
- \( C_{11} = (+1) \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 6 \end{vmatrix} = 24 \)
- \( C_{12} = (-1) \cdot \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 6 \end{vmatrix} = -5 \)
- \( C_{13} = (+1) \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -4 \)
\[ \det(A) = 1 \cdot 24 + 2 \cdot (-5) + 3 \cdot (-4) = 24 -10 -12 = 2 \]
6. 계산 팁
- 0이 많은 행이나 열을 기준으로 전개
- 가우스 소거법을 이용한 간접 계산도 가능
- 여인수 전개는 재귀적으로 하위 행렬에 적용됨
결론
정의
행렬식은 선형변환의 부피 변화율을 나타내는 값으로, 여인수 전개로 계산할 수 있습니다.
여인수
특정 원소의 소행렬식과 부호 조합으로 정의됩니다.
전개 방식
임의의 행 또는 열을 기준으로 재귀적으로 적용 가능합니다.
예제 계산
3차 행렬에서 직접적인 전개 과정을 통해 이해 가능
여인수 전개는 행렬식을 정의에 충실하게 계산할 수 있는 기본적인 방법으로, 수학적 구조를 이해하는 데 매우 유익합니다.