정답
반사 계수와 투과 계수는 \( r=\dfrac{k_1-k_2}{k_1+k_2},\; t=\dfrac{2k_1}{k_1+k_2} \) 이고, 투과율은 \( T=\dfrac{4k_1k_2}{(k_1+k_2)^2} \) 이다.
출제 의도
이 문제는 서로 다른 유전체 경계에서의 평면파 전파를 다루며, 전기장의 경계 조건을 이용해 반사 계수와 투과 계수를 유도하고, 파수와 에너지 전달(세기) 사이의 관계를 정확히 이해하고 있는지를 평가한다.
풀이 과정
유전체 1(\(z<0\))에서의 전체 전기장은 입사파와 반사파의 합으로
$$ E_1(z)=E_0 e^{ik_1 z}+rE_0 e^{-ik_1 z} $$
이고, 유전체 2(\(z>0\))에서의 전기장은 투과파로
$$ E_2(z)=tE_0 e^{ik_2 z} $$
이다.
경계면 \(z=0\)에서 전기장은 연속이므로
$$ E_1(0)=E_2(0) $$
즉,
$$ 1+r=t $$
가 된다.
또한 주어진 경계 조건에 의해 전기장의 공간 미분도 연속이므로
$$ \left.\frac{dE_1}{dz}\right|_{z=0} = \left.\frac{dE_2}{dz}\right|_{z=0} $$
이를 계산하면
$$ ik_1(1-r)=ik_2 t $$
이다.
이제 두 식
$$ 1+r=t,\qquad k_1(1-r)=k_2 t $$
을 연립하여 풀면,
$$ r=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2} $$
$$ t=\frac{2k_1}{k_1+k_2} $$
를 얻는다.
다음으로 투과율을 구한다. 문제에서 유전율이 \(\epsilon\)인 유전체에서 전기장의 세기는
$$ I\propto \sqrt{\epsilon}\,|E|^2 $$
에 비례한다고 주어졌다.
따라서 투과율은
$$ T=\frac{I_t}{I_{in}} =\frac{\sqrt{\epsilon_2}|tE_0|^2}{\sqrt{\epsilon_1}|E_0|^2} =\frac{\sqrt{\epsilon_2}}{\sqrt{\epsilon_1}}\,t^2 $$
이다.
파수의 정의
$$ k_j=k_0\sqrt{\frac{\epsilon_j}{\epsilon_0}} $$
를 이용하면
$$ \frac{\sqrt{\epsilon_2}}{\sqrt{\epsilon_1}}=\frac{k_2}{k_1} $$
이므로
$$ T=\frac{k_2}{k_1}\left(\frac{2k_1}{k_1+k_2}\right)^2 $$
이를 정리하면
$$ T=\frac{4k_1k_2}{(k_1+k_2)^2} $$
가 된다.