정답
투과율이 \(T=1\)이 되기 위한 가장 낮은 에너지는 \( E_{\min}=U+\dfrac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2} \) 이며, 이때 \(0\le x\le L\) 구간에서의 드브로이 파장은 \( \lambda=2L \) 이다.
출제 의도
이 문제는 사각 퍼텐셜 장벽에서 공명 투과(resonant transmission)가 발생하는 조건을 이해하고, 주어진 투과율 식으로부터 에너지 조건을 도출하며, 파수와 드브로이 파장의 물리적 의미를 정확히 연결할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
문제에서 \(E>U\)일 때의 투과율은 다음과 같이 주어진다.
$$ T=\left(1+\frac{U^2\sin^2(kL)}{4E(E-U)}\right)^{-1} $$
여기서
$$ k=\frac{\sqrt{2m(E-U)}}{\hbar} $$
이다.
투과율이 \(T=1\)이 되려면 분모의 추가항이 0이 되어야 하므로,
$$ \sin(kL)=0 $$
이어야 한다. 따라서
$$ kL=n\pi \quad (n=1,2,3,\ldots) $$
가 된다. 이 중 가장 낮은 에너지는 가장 작은 양의 정수 \(n=1\)일 때이다.
즉,
$$ k=\frac{\pi}{L} $$
이고, 이를 \(k\)의 정의식에 대입하면
$$ \frac{\sqrt{2m(E_{\min}-U)}}{\hbar}=\frac{\pi}{L} $$
양변을 제곱하여 정리하면
$$ E_{\min}-U=\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2} $$
따라서 가장 낮은 에너지는
$$ E_{\min}=U+\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2} $$
이다.
이제 해당 에너지에서 \(0\le x\le L\) 구간의 드브로이 파장을 구한다. 드브로이 파장은
$$ \lambda=\frac{2\pi}{k} $$
이므로,
$$ \lambda=\frac{2\pi}{\pi/L}=2L $$
가 된다.