정답
분배 함수와 평균 에너지는 \( Z=1+e^{-\beta\epsilon}+e^{-2\beta\epsilon}+e^{-3\beta\epsilon} \), \( \overline{E} =\dfrac{\epsilon\left(e^{-\beta\epsilon}+2e^{-2\beta\epsilon}+3e^{-3\beta\epsilon}\right)}{Z} \) 이다. 또한 \(P(n=1)=4P(n=3)\)일 때의 온도는 \( T_0=\dfrac{2\epsilon}{k_B\ln 4} \) 이다.
출제 의도
이 문제는 볼츠만 통계에서 분배 함수와 확률 분포를 정확히 정의할 수 있는지, 평균 에너지를 분배 함수로부터 계산할 수 있는지, 그리고 특정 확률 조건으로부터 온도를 역으로 구할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
각 입자는 서로 구별 가능하고 상호작용하지 않으므로, 입자 하나의 통계는 볼츠만 분포로 주어진다. 가능한 에너지 상태는
$$ E_n=n\epsilon \quad (n=0,1,2,3) $$
이며, 각 상태의 겹침은 없다.
입자 하나의 분배 함수는 정의에 따라
$$ Z=\sum_{n=0}^{3} e^{-\beta E_n} =\sum_{n=0}^{3} e^{-n\beta\epsilon} $$
이므로
$$ Z=1+e^{-\beta\epsilon}+e^{-2\beta\epsilon}+e^{-3\beta\epsilon} $$
이다.
평균 에너지는
$$ \overline{E} =\frac{1}{Z}\sum_{n=0}^{3}E_n e^{-\beta E_n} $$
로 정의되며, 이를 대입하면
$$ \overline{E} =\frac{\epsilon\left(e^{-\beta\epsilon} +2e^{-2\beta\epsilon} +3e^{-3\beta\epsilon}\right)}{Z} $$
가 된다.
이제 확률 조건을 사용한다. 볼츠만 분포에서
$$ P(n)=\frac{e^{-\beta E_n}}{Z} $$
이므로 조건 \(P(n=1)=4P(n=3)\)은
$$ \frac{e^{-\beta\epsilon}}{Z} =4\frac{e^{-3\beta\epsilon}}{Z} $$
을 의미한다. 분배 함수 \(Z\)는 약분되어
$$ e^{-\beta\epsilon}=4e^{-3\beta\epsilon} $$
이 된다.
이를 정리하면
$$ e^{2\beta\epsilon}=4 $$
양변에 자연로그를 취하여
$$ 2\beta\epsilon=\ln 4 $$
즉,
$$ \beta=\frac{\ln 4}{2\epsilon} $$
이다. \(\beta=\dfrac{1}{k_BT}\)이므로,
$$ T_0=\frac{1}{k_B\beta} =\frac{2\epsilon}{k_B\ln 4} $$
를 얻는다.