정답
토로이드에 저장되는 자기 에너지는 \( U=\dfrac{\mu_0 N^2 I^2 h}{4\pi}\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right) \) 이며, 인덕턴스가 \(500\,\mathrm{mH}\)인 토로이드에 자기 에너지 \(100\,\mathrm{J}\)를 저장하려면 전류는 \( I=20\,\mathrm{A} \) 이다.
출제 의도
이 문제는 토로이드 내부의 자기장 분포로부터 에너지 밀도를 적분하여 전체 자기 에너지를 구할 수 있는지, 그리고 자기 에너지와 인덕턴스–전류 사이의 관계를 정확히 활용할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
토로이드 내부에서 반지름 \(r\)에 따른 자기장의 크기는 \( B(r)=\dfrac{\mu_0 N I}{2\pi r} \) 로 주어진다.
자기 에너지 밀도는 \( u=\dfrac{B^2}{2\mu_0} \) 이므로, 토로이드 내부의 미소 부피 요소 \( dV = (2\pi r)\,h\,dr \) 에 저장되는 미소 에너지는 다음과 같다.
$$ dU=\frac{1}{2\mu_0}B(r)^2\,dV $$
이를 대입하면
$$ dU=\frac{1}{2\mu_0}\left(\frac{\mu_0 N I}{2\pi r}\right)^2(2\pi r h\,dr) $$
정리하면
$$ dU=\frac{\mu_0 N^2 I^2 h}{4\pi}\frac{dr}{r} $$
이를 \(r_1\)부터 \(r_2\)까지 적분하면 전체 자기 에너지는
$$ U=\frac{\mu_0 N^2 I^2 h}{4\pi}\int_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r} $$
$$ U=\frac{\mu_0 N^2 I^2 h}{4\pi}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right) $$
이제 인덕턴스가 주어진 경우를 고려한다. 자기 에너지는 인덕턴스 \(L\)과 전류 \(I\)에 대해
$$ U=\frac{1}{2}LI^2 $$
로도 표현된다. \(L=500\,\mathrm{mH}=0.5\,\mathrm{H}\), \(U=100\,\mathrm{J}\)를 대입하면
$$ 100=\frac{1}{2}\times0.5\times I^2 $$
$$ I^2=400 $$
$$ I=20\,\mathrm{A} $$
따라서 요구한 전류의 크기는 \(20\,\mathrm{A}\)이다.