정답
곡선 \(\beta\)는 정칙곡선이며, \(\tau_\alpha(1)\kappa_\beta(1)=1\)이다.
출제 의도
이 문제는 Frenet–Serret 공식에 대한 이해를 바탕으로, 주어진 벡터장으로 정의된 새로운 곡선의 정칙성 여부를 판단하고 곡률을 계산할 수 있는지를 평가한다. 특히 비틀림과 곡률의 함수적 관계를 미분하여 활용하는 능력이 핵심이다.
풀이 과정
\(\alpha\)는 단위속력곡선이므로 Frenet–Serret 공식이 그대로 적용된다. 주어진 정의에 따라 \(\beta\)의 도함수와 이로부터 곡률을 계산한다.
\(\beta(t)\)의 도함수는 적분 정의로부터
$$ \beta'(t)=\tau_\alpha(t)T(t)+\kappa_\alpha(t)B(t) $$
이다. \(\kappa_\alpha(t)\neq 0\) 이므로 \(\beta'(t)\neq 0\)이고, 따라서 \(\beta\)는 정칙곡선이다.
속도의 크기는
$$ \lVert \beta'(t)\rVert =\sqrt{\tau_\alpha(t)^2+\kappa_\alpha(t)^2} =\kappa_\alpha(t)\sqrt{f(t)^2+1} $$
이제 \(\beta”(t)\)를 계산한다. Frenet–Serret 공식 \(T’=\kappa N,\; B’=-\tau N\)을 이용하면
$$ \beta”(t) =\tau_\alpha'(t)T(t)+\kappa_\alpha'(t)B(t) $$
이다. 따라서 외적의 크기는
$$ \lVert \beta'(t)\times\beta”(t)\rVert =\lvert \kappa_\alpha(t)\tau_\alpha'(t)-\tau_\alpha(t)\kappa_\alpha'(t)\rvert $$
곡선 \(\beta\)의 곡률은
$$ \kappa_\beta(t) =\frac{\lvert \kappa_\alpha(t)\tau_\alpha'(t)-\tau_\alpha(t)\kappa_\alpha'(t)\rvert} {\bigl(\kappa_\alpha(t)^2+\tau_\alpha(t)^2\bigr)^{3/2}} $$
여기서 \(\tau_\alpha(t)=f(t)\kappa_\alpha(t)\)를 대입하면
$$ \kappa_\beta(t) =\frac{\lvert f'(t)\rvert}{\kappa_\alpha(t)\bigl(f(t)^2+1\bigr)^{3/2}} $$
\(t=1\)에서 \(f(1)=\sqrt{3},\; f'(1)=-2\)이므로
$$ \kappa_\beta(1) =\frac{2}{\kappa_\alpha(1)\,8} =\frac{1}{4\kappa_\alpha(1)} $$
또한 \(\tau_\alpha(1)=f(1)\kappa_\alpha(1)=\sqrt{3}\kappa_\alpha(1)\)이므로
$$ \tau_\alpha(1)\kappa_\beta(1) =\sqrt{3}\kappa_\alpha(1)\cdot\frac{1}{4\kappa_\alpha(1)} =1 $$