정답
\(|G(K/\mathbb{Q})|=60\)이며, 조건을 만족하는 정규 부분군 \(H_1, H_2\)가 존재한다.
출제 의도
이 문제는 분해체의 차수를 계산하여 갈루아군의 위수를 구할 수 있는지, 그리고 갈루아군을 두 개의 정규 부분군의 곱으로 표현하는 군론적 구조를 이해하고 있는지를 평가한다.
풀이 과정
주어진 체는
$$ K=\mathbb{Q}\left(\sqrt[3]{2},\,e^{\frac{2\pi i}{75}}\right) $$
이며, 이는 다항식 \((x^3-2)(x^{25}-1)\)의 분해체이다.
먼저 각 분해체의 차수를 계산한다. \(x^3-2\)는 유리수체에서 기약이므로, 그 분해체는
$$ \mathbb{Q}\left(\sqrt[3]{2},\,\omega\right) $$
이며 여기서 \(\omega=e^{2\pi i/3}\)이다. 이 체의 차수는
$$ [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega):\mathbb{Q}]=6 $$
이다.
다음으로 \(x^{25}-1\)의 분해체는 \(25\)차 단위근을 모두 포함하는 체
$$ \mathbb{Q}\left(e^{\frac{2\pi i}{25}}\right) $$
이며, 이 체의 차수는 오일러 피 함수에 의해
$$ \varphi(25)=20 $$
이다.
주어진 \(K\)는
$$ K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)\,\mathbb{Q}\left(e^{\frac{2\pi i}{25}}\right) $$
의 합성체이다. 두 체의 교집합은 \(\mathbb{Q}\)이므로 전체 차수는 곱으로 주어진다.
$$ [K:\mathbb{Q}]=6\times 20=60 $$
따라서 갈루아군의 위수는
$$ |G(K/\mathbb{Q})|=60 $$
이다.
이제 부분군의 존재를 보인다. 갈루아 대응에 의해, 차수 \(20\)의 부분체
$$ \mathbb{Q}\left(e^{\frac{2\pi i}{25}}\right) $$
에 대응하는 부분군 \(H_1\)은 위수 \(20\)의 정규 부분군이다.
마찬가지로 차수 \(6\)의 부분체
$$ \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega) $$
에 대응하는 부분군 \(H_2\)는 위수 \(6\)의 정규 부분군이다.
두 부분군은 각각 서로 다른 요인에 대응하며, 합성체가 전체 체 \(K\)를 생성하므로 갈루아군에 대해
$$ G(K/\mathbb{Q})=H_1H_2 $$
가 성립한다.
따라서 조건 (가), (나), (다)를 모두 만족하는 정규 부분군 \(H_1, H_2\)가 존재함이 증명되었다.