정답
\(x=2.0\times 10^{4}\)이다. 혼합 후 \(\dfrac{[B^-]}{[HB]}=200\)이며, 혼합 용액의 pH는 \(5.3\)이다.
출제 의도
이 문제는 산–염기 평형에서 완충용액의 pH로부터 산 해리 상수 \(K_a\)를 구하고, 두 산 사이의 양성자 이동 반응의 평형상수를 계산할 수 있는지를 평가한다. 또한 서로 다른 산·염기 용액을 혼합했을 때의 평형 조성과 pH를 단계적으로 계산하는 능력을 묻는다.
풀이 과정
먼저 주어진 평형 반응은 다음과 같다.
$$ \mathrm{HA+H_2O \rightleftharpoons A^-+H_3O^+} $$
$$ \mathrm{HB+H_2O \rightleftharpoons B^-+H_3O^+},\quad K_a(\mathrm{HB})=1.0\times10^{-3} $$
$$ \mathrm{A^-+HB \rightleftharpoons HA+B^-},\quad K=x $$
첫 번째 용액에서 HA 0.01 mol, NaA 0.05 mol을 물에 녹여 1 L로 만들었고 pH가 8.0이다. 따라서
$$ [H^+]=10^{-8}\,\mathrm{M} $$
이고, 완충용액 근사로
$$ K_a(\mathrm{HA}) =\frac{[H^+][A^-]}{[HA]} =10^{-8}\times\frac{0.05}{0.01} =5.0\times10^{-8} $$
이다.
산–염기 반응 \( \mathrm{A^-+HB \rightleftharpoons HA+B^-} \) 의 평형상수는 두 산의 해리 상수의 비로 주어진다.
$$ x=\frac{K_a(\mathrm{HB})}{K_a(\mathrm{HA})} =\frac{1.0\times10^{-3}}{5.0\times10^{-8}} =2.0\times10^{4} $$
이제 이 용액(1 L)에 HCl 0.01 mol과 HB 0.02 mol이 녹아 있는 수용액 1 L를 가한다. 혼합 후 총 부피는 2 L이다.
혼합 직후 몰수는 다음과 같다.
HA: \(0.01\) mol, A⁻: \(0.05\) mol, HB: \(0.02\) mol, H⁺(from HCl): \(0.01\) mol.
강산 HCl에 의해 먼저 A⁻가 중화되어
$$ \mathrm{A^-+H^+\rightarrow HA} $$
가 일어나므로, 반응 후
A⁻: \(0.05-0.01=0.04\) mol, HA: \(0.01+0.01=0.02\) mol.
이제 \(\mathrm{A^-+HB \rightleftharpoons HA+B^-}\) 평형을 고려한다. 평형에서
$$ x=\frac{[HA][B^-]}{[A^-][HB]} $$
이고 \(x=2.0\times10^4\)이 매우 크므로 반응은 거의 오른쪽으로 진행된다. 따라서 HB의 대부분이 B⁻로 전환된다.
근사적으로
$$ \frac{[B^-]}{[HB]}\approx x\frac{[A^-]}{[HA]} =2.0\times10^4\times\frac{0.04}{0.02} =200 $$
즉,
$$ \frac{[B^-]}{[HB]}=200 $$
이다.
이제 혼합 용액의 pH를 구한다. HB–B⁻ 완충쌍에 대해 헨더슨–하셀바흐 식을 적용하면
$$ \mathrm{pH} =\mathrm{p}K_a(\mathrm{HB}) +\log\frac{[B^-]}{[HB]} $$
$$ \mathrm{pH} =3+\log(200) =3+2.30 =5.3 $$
따라서 혼합 용액의 pH는 약 \(5.3\)이다.