정답
\(E_S=\epsilon,\quad E_{S’}=\dfrac{5}{4}\epsilon,\quad K_A’-K_B’=\dfrac{1}{4}\epsilon\)이다.
출제 의도
서로 반대방향으로 방출된 광자의 에너지가 관성계에 따라 상대론적 도플러 효과로 다르게 측정됨을 이용해 \(E_S, E_{S’}\)를 구하고, 질량-에너지 보존과 로렌츠 인자를 결합해 서로 다른 질량을 가진 물체 A, B의 상대론적 운동에너지 차이를 계산하는 문제이다.
풀이 과정
관성계 \(S\)에서 물체 \(A\)는 정지해 있다가 에너지 \(\epsilon/2\)인 광자 2개를 \(+x\), \(-x\) 방향으로 방출하여 \(B\)가 된다. 따라서 \(S\)에서 두 광자의 에너지 합은
$$ E_S=\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon $$
이제 \(S\)에 대해 \(+x\) 방향으로 \(v=0.6c\)로 움직이는 관성계 \(S’\)에서 관측한다. 자료에 의해 \(-x\) 방향으로 방출된 광자는 관찰자와 광원이 “가까워지는 경우”, \(+x\) 방향 광자는 “멀어지는 경우”에 해당한다.
상대론적 도플러 효과에서 진동수는
$$ f_+’=f\sqrt{\frac{c+v}{c-v}},\qquad f_-‘=f\sqrt{\frac{c-v}{c+v}} $$
이고 광자 에너지는 \(E=hf\)이므로 에너지도 같은 비율로 변한다. \(v=0.6c\)를 대입하면
$$ \sqrt{\frac{c+v}{c-v}}=\sqrt{\frac{1+0.6}{1-0.6}}=\sqrt{\frac{1.6}{0.4}}=\sqrt{4}=2, \qquad \sqrt{\frac{c-v}{c+v}}=\frac{1}{2} $$
따라서 \(-x\)로 방출된 광자(가까워짐)의 에너지는 \(\frac{\epsilon}{2}\cdot 2=\epsilon\), \(+x\)로 방출된 광자(멀어짐)의 에너지는 \(\frac{\epsilon}{2}\cdot \frac12=\frac{\epsilon}{4}\)이다. 그러므로 \(S’\)에서 두 광자의 에너지 합은
$$ E_{S’}=\epsilon+\frac{\epsilon}{4}=\frac{5}{4}\epsilon $$
이제 \(K_A’-K_B’\)를 구한다. \(S\)에서 두 광자의 운동량이 서로 상쇄되므로 \(B\)는 \(S\)에서 정지해 있고, 에너지 보존으로
$$ m_Ac^2=m_Bc^2+\epsilon \quad\Longrightarrow\quad (m_A-m_B)c^2=\epsilon $$
\(S\)에서 \(A,B\)가 모두 정지이므로 \(S’\)에서는 둘 다 속력 \(v=0.6c\)로 운동한다. 상대론적 운동에너지는 \(K=(\gamma-1)mc^2\)이므로
$$ K_A’-K_B’=(\gamma-1)(m_A-m_B)c^2 $$
여기서 \(\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-0.6^2}}=\dfrac{1}{0.8}=1.25\)이므로 \(\gamma-1=0.25=\dfrac14\)이다. 또한 \((m_A-m_B)c^2=\epsilon\)이므로
$$ K_A’-K_B’=(\gamma-1)\epsilon=\frac14\,\epsilon $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>