정답
두 고윳값의 합은 \(4\epsilon\)이고, 낮은 에너지 고윳값이 \(0\)이 되려면 \(a=\sqrt{3}\)이다.
출제 의도
2×2 해밀토니언 행렬에서 고윳값의 합이 대각합(트레이스)과 같다는 성질을 이용할 수 있는지, 그리고 고윳값이 0이 되는 조건을 행렬식(또는 특성방정식)으로 세울 수 있는지 평가한다.
풀이 과정
행렬 \(H=\epsilon\begin{pmatrix}1&a\\ a&3\end{pmatrix}\)의 고윳값을 \(\lambda_1,\lambda_2\)라 하자. 스칼라 \(\epsilon\)은 행렬 전체를 곱하므로, \(H\)의 고윳값은 \(\epsilon\)에 의해 스케일된다. 먼저 \(A=\begin{pmatrix}1&a\\ a&3\end{pmatrix}\)의 고윳값을 \(\mu_1,\mu_2\)라 하면 \(\lambda_i=\epsilon\mu_i\)이다.
고윳값의 합은 트레이스와 같으므로
$$ \lambda_1+\lambda_2=\mathrm{tr}(H)=\epsilon\,\mathrm{tr}(A)=\epsilon(1+3)=4\epsilon $$
이제 “낮은 에너지 고윳값”이 \(0\)이 되려면, \(H\)가 고윳값 \(0\)을 가져야 한다. \(\epsilon>0\)이므로 \(H\)가 고윳값 \(0\)을 가진다는 것은 \(A\)가 고윳값 \(0\)을 가진다는 것과 동치이고, 이는
$$ \det(A)=0 $$
와 동치이다. 계산하면
$$ \det\begin{pmatrix}1&a\\ a&3\end{pmatrix}=1\cdot 3-a^2=3-a^2 $$
따라서
$$ 3-a^2=0\quad\Longrightarrow\quad a^2=3 $$
문제에서 \(a>0\)이므로
$$ a=\sqrt{3} $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>