정답
자기 선속은 \(\displaystyle \Phi(t)=B_0 a^2\sin(\omega t)\), 유도 전류의 크기는 \(\displaystyle I(t)=\frac{B_0 a^2\omega}{R}\,|\cos(\omega t)|\), \(\omega t=2\pi\)일 때 고리의 자기 쌍극자 모멘트는 \(\displaystyle \vec m=\frac{B_0 a^4\omega}{R}\,\hat n\)이다.
출제 의도
이 문제는 시간에 따라 변하는 자기장 속에 놓인 도선 고리에서 자기 선속, 패러데이 법칙에 따른 유도 기전력과 전류를 계산할 수 있는지, 그리고 전류 고리의 자기 쌍극자 모멘트 개념을 정확히 적용할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
자기장은 균일하며 \[ \vec B(t)=B_0\sin(\omega t)\,\hat y \] 로 주어진다. 고리는 두 개의 서로 직각인 정사각형 면으로 이루어져 있는데, 이 중 \(xy\)평면에 놓인 면만이 법선 방향이 \(\hat y\)이므로 자기 선속에 기여한다. \(xz\)평면에 놓인 면은 법선이 \(\hat y\)와 수직이어서 선속이 0이다.
\(xy\)평면에 놓인 정사각형의 넓이는 \(A=a^2\)이므로, 고리를 통과하는 자기 선속은
$$ \Phi(t)=\vec B\cdot\vec A = B_0\sin(\omega t)\,a^2 $$
이다.
패러데이의 전자기 유도 법칙에 따라 유도 기전력의 크기는
$$ \mathcal{E}(t)=\left|\frac{d\Phi}{dt}\right| = B_0 a^2\omega\,|\cos(\omega t)| $$
이고, 고리의 저항이 \(R\)이므로 유도 전류의 크기는
$$ I(t)=\frac{\mathcal{E}(t)}{R} =\frac{B_0 a^2\omega}{R}\,|\cos(\omega t)| $$
이다.
이제 \(\omega t=2\pi\)일 때를 고려한다. 이때
$$ \sin(2\pi)=0,\qquad \cos(2\pi)=1 $$
이므로 순간적인 자기장은 0이지만, 전류의 크기는
$$ I=\frac{B_0 a^2\omega}{R} $$
이다.
전류가 흐르는 고리의 자기 쌍극자 모멘트는
$$ \vec m= I A\,\hat n $$
으로 주어지며, 여기서 \(\hat n\)은 전류 방향에 따른 면의 법선 방향이다. 고리에서 자기 선속에 기여하는 면의 넓이가 \(a^2\)이므로,
$$ \vec m =\frac{B_0 a^2\omega}{R}\,a^2\,\hat n =\frac{B_0 a^4\omega}{R}\,\hat n $$
이 된다.
따라서 요구한 자기 선속, 유도 전류의 크기, 그리고 \(\omega t=2\pi\)일 때의 자기 쌍극자 모멘트는 정답과 같다.