정답
점 \(P=\left(\tfrac{a}{2},0,0\right)\)에서 두 직선 도선이 만드는 자기장의 크기는 \[ B=\frac{\mu_0 I}{\pi d} \] 이다. 또한 원점에 대한 고리 도선에 작용하는 알짜 돌림힘의 크기는 \[ \tau=\frac{\mu_0 I i a^2}{\pi d} \] 이며, 방향은 \(+y\)축 방향이다.
출제 의도
이 문제는 무한히 긴 직선 도선이 만드는 자기장을 비오-사바르 법칙으로 계산할 수 있는지, 그리고 외부 자기장 속에 놓인 전류 고리 도선에 작용하는 자기력과 그에 따른 돌림힘(토크)을 벡터적으로 해석할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
먼저 두 직선 도선이 점 \(P=\left(\tfrac{a}{2},0,0\right)\)에서 만드는 자기장을 구한다. 두 도선은 각각 \(y=+d\), \(y=-d\)에 놓여 있고 \(z\)축과 평행하다. 점 \(P\)에서 각 도선까지의 수직 거리는 모두 \(d\)이다.
무한히 긴 직선 도선에서 거리 \(r\) 떨어진 점의 자기장 크기는 \[ B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r} \] 이다.
따라서 각 도선이 점 \(P\)에서 만드는 자기장의 크기는 \[ B_1=B_2=\frac{\mu_0 I}{2\pi d} \] 이다.
오른쪽 도선(\(y=+d\))에는 위쪽(+\(z\)) 방향 전류가 흐르고, 왼쪽 도선(\(y=-d\))에는 아래쪽(-\(z\)) 방향 전류가 흐른다. 오른손 법칙에 따라 두 도선이 점 \(P\)에서 만드는 자기장은 모두 \(+y\)축 방향으로 향한다.
따라서 두 자기장은 같은 방향으로 더해져, \[ B=B_1+B_2=\frac{\mu_0 I}{\pi d} \] 가 된다.
다음으로, 이 자기장 속에 놓인 정사각형 고리 도선에 작용하는 돌림힘을 구한다. 고리 도선은 \(xz\)평면에 놓여 있으므로, 면의 법선 방향은 \(y\)축 방향이다. 고리 도선의 면적은 \[ A=a^2 \] 이다.
전류 \(i\)가 흐르는 고리 도선의 자기 모멘트는 \[ \vec{m}=iA\,\hat{n} \] 이며, 여기서 \(\hat{n}\)은 오른손 법칙에 따른 면의 법선 방향이다. 그림에서 전류 방향에 따라 \(\vec{m}\)은 \(-y\)축 방향이다.
자기장 \(\vec{B}\)는 \(+y\)축 방향이므로, 자기 모멘트와 자기장은 서로 반대 방향이다. 이때 돌림힘의 크기는 \[ \tau = |\vec{m}\times\vec{B}| = mB\sin\theta \] 이다.
여기서 \(\theta=90^\circ\)이므로 \(\sin\theta=1\)이고,
\[ \tau = i a^2 \cdot \frac{\mu_0 I}{\pi d} = \frac{\mu_0 I i a^2}{\pi d} \]
이 된다.
방향은 \(\vec{m}\times\vec{B}\)의 방향으로, 오른손 법칙에 따라 \(+y\)축 방향이다.
따라서 요구한 자기장과 돌림힘의 크기 및 방향은 정답과 같다.