정답
초점 거리 \(f=4\text{ cm}\), 두 렌즈 사이의 거리 \(d=4\text{ cm}\)이다.
출제 의도
이 문제는 얇은 볼록렌즈의 상 형성 원리와 확대율을 이해하고, 단일 렌즈와 두 렌즈가 연속으로 배치된 경우에 대해 렌즈 공식과 확대율 공식을 적용하여 초점 거리와 렌즈 간 거리를 구할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
먼저 그림 (가)에서 렌즈 A 하나만 있을 때를 분석한다. 물체는 렌즈 A의 왼쪽 12 cm 지점에 있고, 실상은 오른쪽 6 cm 지점에 형성된다.
얇은 렌즈 공식은 다음과 같다.
$$ \frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v} $$
여기서 물체 거리 \(u=12\text{ cm}\), 상 거리 \(v=6\text{ cm}\)이므로
$$ \frac{1}{f}=\frac{1}{12}+\frac{1}{6}=\frac{1}{12}+\frac{2}{12}=\frac{3}{12} $$
$$ f=4\text{ cm} $$
따라서 렌즈 A의 초점 거리는 \(4\text{ cm}\)이며, 문제에서 A와 B의 초점 거리는 같으므로 두 렌즈 모두 초점 거리는 4 cm이다.
이제 그림 (나)를 분석한다. 렌즈 A에 의해 만들어진 첫 번째 상은 렌즈 A의 오른쪽 6 cm 지점에 형성된다. 이 상은 렌즈 B에 대해 물체가 된다.
전체 확대율은 최종 상의 크기가 \(2h\), 처음 물체의 크기가 \(h\)이므로
$$ M_{\text{전체}}=2 $$
렌즈 A에 의한 확대율은
$$ M_A=\frac{v_1}{u_1}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} $$
따라서 렌즈 B에 의한 확대율 \(M_B\)는
$$ M_B=\frac{M_{\text{전체}}}{M_A}=\frac{2}{1/2}=4 $$
렌즈 B에 대해 물체 거리 \(u_2\), 상 거리 \(v_2\)라 하면
$$ M_B=\frac{v_2}{u_2}=4 $$
또한 렌즈 B의 초점 거리는 \(f=4\text{ cm}\)이므로 렌즈 공식은
$$ \frac{1}{4}=\frac{1}{u_2}+\frac{1}{v_2} $$
\(v_2=4u_2\)를 대입하면
$$ \frac{1}{4}=\frac{1}{u_2}+\frac{1}{4u_2}=\frac{5}{4u_2} $$
$$ u_2=5\text{ cm} $$
즉, 렌즈 B에서 물체까지의 거리는 5 cm이다.
렌즈 A에 의해 형성된 상은 A의 오른쪽 6 cm 지점에 있으므로, 렌즈 B는 그 지점에서 5 cm 오른쪽에 위치해야 한다. 따라서 두 렌즈 사이의 거리 \(d\)는
$$ d=6-5=4\text{ cm} $$
결론적으로 초점 거리는 \(4\text{ cm}\), 렌즈 사이의 거리는 \(4\text{ cm}\)이다.