정답
\((\mathbb{R},\mathcal{J})\)에서 \(K’=\varnothing\)이고, \([0,1]\)은 \((\mathbb{R},\mathcal{J})\)에서 콤팩트가 아니다.
출제 의도
주어진 기저 \(\Omega\)가 만드는 위상에서 “근방을 어떻게 잡을 수 있는가”를 이용해 도집합(모든 근방이 집합과 만나는 점들의 집합)을 판정하는 문제이다. 또한 표준적인 실수의 콤팩트성 직관이 더 미세한 위상에서는 깨질 수 있음을, 열린 덮개의 유한부분덮개 성질로 직접 보이게 하는 것이 핵심이다.
풀이 과정
집합 \(K=\left\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}\)와, \(\Omega=\{(a,b)\mid a 먼저 \(0\)이 도점인지 본다. \(0\notin K\)이고, \(0\in(-1,1)\setminus K\)이므로 이는 \(0\)의 \(\mathcal{J}\)-근방이다. 그런데 \(((-1,1)\setminus K)\cap K=\varnothing\)이므로 \(0\)의 어떤 근방은 \(K\)와 아예 만나지 않는다. 따라서 \(0\notin K’\)이다. 이제 \(x=\frac{1}{n}\in K\)인 경우를 본다. \(\Omega\)에서 \(\frac{1}{n}\)을 포함하는 기저 원소는 \((a,b)\) 꼴뿐인데(왜냐하면 \((a,b)\setminus K\)에는 \(K\)의 점이 포함될 수 없다), \(\frac{1}{n}\)은 표준적인 실수선에서도 고립점이므로 \(\frac{1}{n}\)만 포함하는 열린구간을 잡을 수 있다. 구체적으로 다음과 같이 잡으면 된다.
$$
\varepsilon_n=\frac12\min\left\{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\;,\;\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right\}\quad(n\ge 2),\qquad
\varepsilon_1=\frac14
$$
$$
U_n=\left(\frac{1}{n}-\varepsilon_n,\;\frac{1}{n}+\varepsilon_n\right)
$$
그러면 \(U_n\)은 \(\mathcal{J}\)-열린집합이고 \(U_n\cap K=\left\{\frac{1}{n}\right\}\)이므로 \(U_n\cap\left(K\setminus\left\{\frac{1}{n}\right\}\right)=\varnothing\)이다. 따라서 \(\frac{1}{n}\notin K’\)이다. 마지막으로 \(x\notin K\)인 임의의 점에 대해, \(x\in(a,b)\setminus K\)인 기저 원소를 잡을 수 있고 그 경우 \(((a,b)\setminus K)\cap K=\varnothing\)이므로 \(x\notin K’\)이다. 위의 논의를 종합하면 \(\mathcal{J}\)에서 \(K\)의 도점이 되는 점이 하나도 없으므로 \(K’=\varnothing\)이다. 이제 \([0,1]\)의 콤팩트성을 본다. \([0,1]\)을 덮는 \(\mathcal{J}\)-열린 덮개를 다음과 같이 구성한다. 먼저
$$
U_0=(-1,2)\setminus K
$$
는 \(\mathcal{J}\)-열린집합이며 \(0\)과 \([0,1]\)의 대부분을 덮지만, \(K\cap[0,1]=\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\right\}\)의 점들은 전부 제외한다. 그리고 각 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 위에서 만든 \(U_n\)을 사용하면 \(\frac{1}{n}\in U_n\)이다. 따라서
$$
[0,1]\subset U_0\;\cup\;\bigcup_{n=1}^{\infty}U_n
$$
이므로 \(\{U_0,U_1,U_2,\dots\}\)는 \([0,1]\)의 열린 덮개이다. 그런데 어떤 유한 부분덮개를 택해도 \(U_0\)는 \(K\)의 점들을 하나도 포함하지 않고, 유한 개의 \(U_n\)들은 \(\frac{1}{n}\)을 유한 개만 덮으므로, 덮이지 않는 \(\frac{1}{m}\in[0,1]\cap K\)가 반드시 남는다. 따라서 유한 부분덮개가 존재하지 않는다. 결론적으로 \([0,1]\)은 \((\mathbb{R},\mathcal{J})\)에서 콤팩트가 아니다. <풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>