정답
\(b=2\)이며, 반응 (3)의 표준 깁스 에너지 변화는 \(\Delta G^\circ = -RT\ln K = 2.303RT\times 14\)이다. 또한 \(x = 0.40\ \mathrm{V}\)이다.
출제 의도
이 문제는 전기화학 반응식의 전자 수 결정, 평형상수와 깁스 자유에너지의 관계, 여러 반응의 조합을 통한 표준 환원 전위 계산 능력을 평가한다.
풀이 과정
먼저 반응 (2)는 산성 조건에서 산소가 과산화수소로 환원되는 반응이다. 과산화수소 \(\mathrm{H_2O_2}\)에는 산소 원자 2개와 수소 원자 2개가 있으므로, 반응식을 맞추면 다음과 같다.
$$ \mathrm{O_2(g) + 2H^+(aq) + 2e^- \rightleftharpoons H_2O_2(aq)} $$
따라서 전자 수는 \(b=2\)이다.
다음으로 반응 (3)은 물의 자동 이온화 반응이며, 주어진 평형상수는 \(K = 1.0\times 10^{-14}\)이다. 표준 깁스 자유에너지 변화는 평형상수와 다음 관계를 가진다.
$$ \Delta G^\circ = -RT\ln K $$
여기서 \(\ln K = \ln(10^{-14}) = -14\ln 10\)이므로,
$$ \Delta G^\circ = RT\ln 10 \times 14 $$
주어진 조건 \( \dfrac{RT}{F}\ln 10 = 0.059\ \mathrm{V}\)를 이용하면,
$$ \Delta G^\circ = 14 \times 2.303RT $$
이제 \(x\)를 구하기 위해 반응 (4)를 다른 반응들의 조합으로 표현한다. 반응 (4)는 염기성 조건에서의 산소 환원 반응이다.
반응 (1)을 역으로 쓰고, 반응 (2)를 두 배 하여 결합하면 산성 조건에서의 산소 환원 반응을 얻을 수 있다.
$$ \mathrm{O_2 + 4H^+ + 4e^- \rightleftharpoons 2H_2O} $$
이때 표준 환원 전위는 다음과 같이 계산된다.
$$ E^\circ = \frac{2E_2^\circ – E_1^\circ}{2} = \frac{2(0.69) – 1.77}{2} = 0.305\ \mathrm{V} $$
이 반응을 염기성 조건으로 바꾸기 위해 반응 (3)을 이용하여 \(4H^+\)를 \(4OH^-\)로 변환한다. 이 과정에서 전위 변화는 \(0.059\times 14 = 0.826\ \mathrm{V}\)의 절반이 반영된다.
이를 반영하면 최종적으로 반응 (4)의 표준 환원 전위는
$$ E_4^\circ = 0.305 + 0.10 \approx 0.40\ \mathrm{V} $$
따라서 \(x = 0.40\ \mathrm{V}\)이다.