정답
원기둥이 최고점 \(h\)에 도달했을 때 계의 수평방향 선운동량은 \(p_x=m v_0\cos\theta\), 역학적 에너지는 \(E=mgh+\dfrac{m v_0^2\cos^2\theta}{12}\)이다. 또한 \(h=\dfrac{v_0^2(9-\cos^2\theta)}{12g}\)이다.
출제 의도
도막-원기둥 계에서 외력이 없는 수평방향 선운동량 보존을 적용하고, 미끄럼 없는 구름 조건이 만들어내는 회전에너지까지 포함하여 역학적 에너지 보존으로 최고 도달 높이를 구하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
원기둥(질량 \(m\))이 도막(질량 \(5m\))의 경사면(각 \(\theta\))을 미끄럼 없이 올라간다. 도막과 바닥 사이에 마찰이 없으므로 계(원기둥+도막)에 작용하는 외력의 수평성분은 0이어서 수평방향 선운동량이 보존된다.
원기둥이 경사면을 막 올라가기 시작하는 순간(초기) 도막은 정지이고, 원기둥은 경사면 방향 속력이 \(v_0\)이다. 이때 원기둥의 지면에 대한 속도는 경사면 방향이므로 수평 성분은 \(v_0\cos\theta\)이다.
최고점 \(h\)에 도달하는 순간에는 원기둥이 경사면을 따라 더 이상 올라가지 못하므로 경사면에 대한 상대속력이 0이다. 미끄럼이 없으므로 상대속력 \(=R\omega\)이어서 그 순간 원기둥의 각속력도 0이 된다. 따라서 그 순간 원기둥은 도막과 함께 같은 수평속도 \(V\)로만 운동한다.
$$ p_x\ \text{보존:}\quad m(v_0\cos\theta)=(m+5m)V=6mV $$
$$ V=\frac{v_0\cos\theta}{6},\qquad p_x=6mV=m v_0\cos\theta $$
따라서 최고점에서의 수평방향 선운동량은 \(p_x=m v_0\cos\theta\)이다.
이제 역학적 에너지를 쓴다. 도막과 바닥 사이에 마찰이 없고, 원기둥은 미끄럼 없이 굴러 정지마찰은 일을 하지 않으므로(접점의 상대속도 0) 계의 역학적 에너지가 보존된다. 초기의 운동에너지는 원기둥의 병진+회전 에너지이다.
$$ K_{\text{초기}}=\frac12 m v_0^2+\frac12 I\omega^2 $$
$$ I=\frac12 mR^2,\qquad \omega=\frac{v_0}{R} $$
$$ K_{\text{초기}}=\frac12 m v_0^2+\frac12\left(\frac12 mR^2\right)\left(\frac{v_0^2}{R^2}\right) =\frac12 m v_0^2+\frac14 m v_0^2=\frac34 m v_0^2 $$
최고점에서는 원기둥의 회전은 0이고(위에서 확인), 원기둥과 도막이 함께 수평속도 \(V\)로 움직이므로 계의 운동에너지는
$$ K_{\text{최고점}}=\frac12(5m)V^2+\frac12(m)V^2=\frac12(6m)V^2=3mV^2 $$
또한 원기둥만 높이 \(h\)만큼 올라가므로 퍼텐셜 증가는 \(mgh\)이다. 따라서 최고점에서의 계 역학적 에너지는
$$ E_{\text{최고점}}=mgh+3mV^2 $$
$$ V=\frac{v_0\cos\theta}{6}\ \Rightarrow\ 3mV^2=3m\left(\frac{v_0^2\cos^2\theta}{36}\right)=\frac{m v_0^2\cos^2\theta}{12} $$
$$ E_{\text{최고점}}=mgh+\frac{m v_0^2\cos^2\theta}{12} $$
에너지 보존 \(E_{\text{초기}}=E_{\text{최고점}}\)을 적용하면
$$ \frac34 m v_0^2=mgh+\frac{m v_0^2\cos^2\theta}{12} $$
$$ gh=\frac34 v_0^2-\frac{v_0^2\cos^2\theta}{12} =\frac{1}{12}v_0^2(9-\cos^2\theta) $$
$$ h=\frac{v_0^2(9-\cos^2\theta)}{12g} $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>