정답
\(A\to B\)로 전달된 열량은 \(Q_{A\to B}=2mcT\), 최종 평형온도는 \(T_0=2T\), 과정 동안 계의 총 엔트로피 변화는 \(\Delta S_{\text{tot}}=mc\ln 2\)이다.
출제 의도
외부와 단열된 두 물체의 열평형에서 에너지 보존으로 최종 온도를 구하고, 각 물체의 엔트로피 변화를 적분 형태로 계산해 총 엔트로피 변화를 구할 수 있는지 평가한다.
풀이 과정
물체 \(A\)의 질량과 비열은 각각 \(m,\,c\)이므로 열용량은 \(C_A=mc\)이다. 물체 \(B\)의 질량과 비열은 \(\dfrac{3}{2}m,\;\dfrac{4}{3}c\)이므로 열용량은 \(C_B=\dfrac{3}{2}m\cdot\dfrac{4}{3}c=2mc\)이다.
계는 외부와 단열되어 있으므로 전체 에너지 변화는 0이고, 최종 평형온도를 \(T_0\)라 하면
$$ C_A(T_0-4T)+C_B(T_0-T)=0 $$
$$ mc(T_0-4T)+2mc(T_0-T)=0 $$
$$ (T_0-4T)+2(T_0-T)=0\;\Longrightarrow\;3T_0-6T=0\;\Longrightarrow\;T_0=2T $$
\(A\)에서 \(B\)로 전달된 열량은 \(A\)가 잃은 열량과 같으므로
$$ Q_{A\to B}=C_A(4T-T_0)=mc(4T-2T)=2mcT $$
이제 엔트로피 변화를 구한다. 비열과 부피가 일정하므로 각 물체의 엔트로피 변화는
$$ \Delta S_A=\int_{4T}^{T_0}\frac{C_A\,dT}{T}=C_A\ln\frac{T_0}{4T},\qquad \Delta S_B=\int_{T}^{T_0}\frac{C_B\,dT}{T}=C_B\ln\frac{T_0}{T} $$
\(T_0=2T,\;C_A=mc,\;C_B=2mc\)를 대입하면
$$ \Delta S_A=mc\ln\frac{2T}{4T}=mc\ln\frac12=-mc\ln 2 $$
$$ \Delta S_B=2mc\ln\frac{2T}{T}=2mc\ln 2 $$
따라서 계의 총 엔트로피 변화는
$$ \Delta S_{\text{tot}}=\Delta S_A+\Delta S_B=-mc\ln 2+2mc\ln 2=mc\ln 2 $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>