정답
정수해가 존재하지 않는 \(k\)는 \(k=11,12,13,14,16,17,19\)이다.
출제 의도
이 문제는 합동식의 해의 존재 여부를 합성수 법(mod 75)에서 판별하기 위해, 소인수 분해에 따른 합동식의 분해와 이차 합동식의 판별 조건(판별식의 제곱잉여성)을 활용할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
주어진 합동식은
$$ x^2+23x-k\equiv 0 \pmod{75} $$
이다. \(75=3\cdot 25\)이므로, 이 합동식이 정수해를 가지려면 동시에
$$ x^2+23x-k\equiv 0 \pmod{3},\qquad x^2+23x-k\equiv 0 \pmod{25} $$
가 각각 해를 가져야 한다.
이차 합동식 \(x^2+bx+c\equiv 0\)이 해를 가지려면 판별식
$$ D=b^2-4c $$
이 해당 법에서 제곱잉여여야 한다. 여기서는
$$ D=23^2+4k=529+4k $$
이다.
① mod 3에서의 판별
\(529\equiv 1 \pmod{3}\), \(4k\equiv k \pmod{3}\)이므로
$$ D\equiv 1+k \pmod{3} $$
제곱잉여는 \(0,1\)뿐이므로 \(D\equiv 2\pmod{3}\)이면 해가 없다. 따라서
$$ 1+k\equiv 2 \pmod{3}\quad\Rightarrow\quad k\equiv 1\pmod{3} $$
즉 \(k=13,16,19\)에서는 mod 3에서 해가 없으므로 mod 75에서도 해가 없다.
② mod 25에서의 판별
\(529\equiv 4 \pmod{25}\)이므로
$$ D\equiv 4+4k \pmod{25} $$
25에서의 제곱잉여는
$$ \{0,1,4,6,9,11,14,16,19,21,24\} $$
이다. \(k=11\)부터 \(20\)까지 대입하면 다음과 같다.
\(k=11:\;D\equiv 23\) (불가) \(k=12:\;D\equiv 2\) (불가) \(k=13:\;D\equiv 6\) (가능) \(k=14:\;D\equiv 10\) (불가) \(k=15:\;D\equiv 14\) (가능) \(k=16:\;D\equiv 18\) (불가) \(k=17:\;D\equiv 22\) (불가) \(k=18:\;D\equiv 1\) (가능) \(k=19:\;D\equiv 5\) (불가) \(k=20:\;D\equiv 9\) (가능)
따라서 mod 25에서 해가 없는 경우는 \(k=11,12,14,16,17,19\)이다.
③ 종합
mod 3 또는 mod 25 중 하나라도 해가 없으면 mod 75에서 해가 없다. 이를 종합하면
$$ k=11,12,13,14,16,17,19 $$
에서 주어진 합동식은 정수해를 갖지 않는다.