정답
소행성의 공전주기는 4년이며, 다음 추분날 소행성의 적경은 180°이다.
출제 의도
이 문제는 지구와 소행성의 회합주기와 공전주기의 관계를 이해하고, 이를 통해 소행성의 공전주기를 계산하는 능력을 평가한다. 또한 지구 공전에 따른 천체의 겉보기 위치 변화(적경 변화)를 시간 경과에 따라 추론할 수 있는지를 묻는다.
풀이 과정
지구의 공전주기를 1년, 소행성의 공전주기를 \(T\)년이라 하면, 회합주기 \(S\)와의 관계는 두 천체의 각속도 차이로부터 다음과 같이 주어진다.
$$ \frac{1}{S}=\left|\frac{1}{T}-\frac{1}{1}\right| $$
문제에서 회합주기 \(S=\frac{4}{3}\)년이므로 이를 대입하면 다음과 같다.
$$ \left|\frac{1}{T}-1\right|=\frac{3}{4} $$
이를 풀면
$$ \frac{1}{T}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} $$
또는 \(\frac{1}{T}=1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}\)가 되지만, 후자의 경우 \(T=\frac{4}{7}\)년으로 지구보다 안쪽을 공전하는 천체가 되어 소행성 조건에 맞지 않는다. 따라서
$$ T=4\text{년} $$
이제 위치 변화를 고려한다. 춘분날에 소행성이 관측되었고, 지구의 세차운동은 무시하므로, 지구는 춘분에서 추분까지 180° 공전한다. 소행성은 같은 기간 동안
$$ \frac{180^\circ}{4}=45^\circ $$
만큼 공전한다. 따라서 지구에서 본 소행성의 겉보기 위치는 상대적으로
$$ 180^\circ-45^\circ=135^\circ $$
만큼 서쪽으로 이동한 것처럼 보인다. 춘분날 중(자정)에 남중하던 천체의 적경은 0°이므로, 이에 180°를 더한 위치가 다음 추분날의 적경이 된다.
따라서 다음 추분날 소행성의 적경은 180°이다.