정답
\(\displaystyle \frac{d_A}{d_L}=\frac{1}{(1+z)^2}\) 이며, 은하의 표면밝기는 \( \displaystyle S=\frac{L}{\pi D^2}\left(\frac{d_A}{d_L}\right)^2=\frac{L}{\pi D^2(1+z)^4}\)이다. 적색이동이 작을 때(\(z\ll1\)) 표면밝기 변화는 거의 없고, 클 때(\(z\gg1\)) 표면밝기는 \((1+z)^{-4}\)에 비례해 급격히 감소한다.
출제 의도
이 문제는 우주 팽창을 고려할 때 각지름거리와 광도거리의 차이를 이해하고, 표면밝기의 정의를 통해 적색이동이 관측량에 미치는 영향을 정량적으로 해석할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
자료에서 광도거리 \(d_L\)와 각지름거리 \(d_A\)는 다음과 같이 주어져 있다.
$$ F=\frac{L}{4\pi d_L^2},\qquad d_L=R_0 r(1+z) $$
$$ d_A=R_e r $$
우주 팽창에서 스케일 인자는 \(R_0=(1+z)R_e\) 이므로 이를 이용하면 각지름거리와 광도거리의 비는 다음과 같이 정리된다.
$$ \frac{d_A}{d_L} =\frac{R_e r}{R_0 r(1+z)} =\frac{1}{(1+z)^2} $$
다음으로 표면밝기는 단위 입체각당 플럭스로 정의되며, 균일한 원반 은하의 경우 관측된 각지름 \(\theta\)는
$$ \theta=\frac{D}{d_A} $$
이때 은하가 차지하는 각면적은 \(\pi\theta^2=\pi D^2/d_A^2\) 이므로 표면밝기 \(S\)는
$$ S=\frac{F}{\pi\theta^2} =\frac{L}{4\pi d_L^2}\cdot\frac{d_A^2}{\pi D^2} $$
이를 정리하면
$$ S=\frac{L}{\pi D^2}\left(\frac{d_A}{d_L}\right)^2 $$
앞에서 구한 비를 대입하면
$$ S=\frac{L}{\pi D^2(1+z)^4} $$
즉, 우주 팽창으로 인해 표면밝기는 적색이동의 4제곱에 반비례하여 감소한다.
이 결과를 해석하면, 가까운 은하의 경우 \(z\ll1\)이므로 \((1+z)^4\approx1\)이 되어 표면밝기가 거의 변하지 않는다. 반면 매우 먼 은하의 경우 \(z\gg1\)이면 \((1+z)^4\)가 매우 커져 표면밝기가 급격히 감소하므로, 멀리 있는 은하일수록 본래보다 훨씬 어둡게 관측된다.