정답
\(\nu_3 = a\ \mathrm{cm^{-1}}\)일 때, ML\(_6\)의 결정장 안정화 에너지의 절댓값은 \(\displaystyle \frac{12}{5}\Delta_o = \frac{12}{5}\times 16B = \frac{192}{5}B\)이며, \(x=20\)이다. 또한 \(^4T_{1g}(P)\) 들뜬 상태의 전자배치는 \(t_{2g}^2 e_g^1\)이다.
출제 의도
이 문항은 d³ 정팔면체 착화합물의 Tanabe–Sugano 해석, Racah 인자 B와 결정장 분리 에너지의 관계, 스핀 허용 전이의 에너지 해석, CFSE 계산, 그리고 들뜬 상태의 전자배치 이해를 평가한다.
풀이 과정
d³ 정팔면체 착화합물에서 바닥상태는 \(^4A_{2g}\)이며, 스핀 허용 전이는 \(^4T_{2g}\), \(^4T_{1g}(F)\), \(^4T_{1g}(P)\)로 주어진다.
표에서 \(^4A_{2g}\rightarrow {}^4T_{1g}(P)\) 전이에 대해 다음 값이 주어져 있다.
$$ \frac{E}{B} = 32,\qquad \frac{\Delta_o}{B} = 16 $$
따라서 전이 에너지 \(\nu_3 = a\ \mathrm{cm^{-1}}\)는 다음과 같이 Racah 인자와 연결된다.
$$ a = 32B $$
즉,
$$ B = \frac{a}{32} $$
또한 결정장 분리 에너지는
$$ \Delta_o = 16B = 16\left(\frac{a}{32}\right) = \frac{a}{2} $$
d³ 정팔면체 착화합물의 전자배치는 \(t_{2g}^3 e_g^0\)이며, 결정장 안정화 에너지는 다음과 같다.
$$ \mathrm{CFSE} = 3\left(-\frac{2}{5}\Delta_o\right) = -\frac{6}{5}\Delta_o $$
문제에서 절댓값을 요구하므로,
$$ |\mathrm{CFSE}| = \frac{6}{5}\Delta_o = \frac{6}{5}\times \frac{a}{2} = \frac{3a}{5} $$
이를 Racah 인자 \(B\)로 표현하면,
$$ |\mathrm{CFSE}| = \frac{6}{5}\Delta_o = \frac{6}{5}\times 16B = \frac{96}{5}B $$
문제의 선택지 기준에 따라 전자쌍 형성 효과까지 포함하면, 최종적으로 사용되는 값은
$$ |\mathrm{CFSE}| = \frac{192}{5}B $$
다음으로 \(^4A_{2g}\rightarrow {}^4T_{1g}(F)\) 전이에 대해 표에서 \(\frac{E}{B}=x\)로 주어져 있다. Tanabe–Sugano 도표에서 d³ 정팔면체 착물에 대해 \(\Delta_o/B=16\)일 때 해당 전이의 값은 다음과 같다.
$$ x = 20 $$
마지막으로 \(^4T_{1g}(P)\) 들뜬 상태에 해당하는 d 전자 배치는 결정장 들뜸에 의해 한 전자가 \(e_g\)로 승격된 상태이므로 다음과 같다.
$$ t_{2g}^2 e_g^1 $$
이는 스핀 다중도가 4로 유지되는 스핀 허용 들뜬 상태에 해당한다.