정답
대물렌즈와 형광판 사이의 거리는 \(20\ \text{cm}\), 투시경의 횡배율의 크기는 \(\displaystyle \frac{2}{3}\)이다.
출제 의도
대물렌즈와 형광판, 물체 사이의 거리 조건을 이용해 렌즈 방정식으로 상의 위치를 구하고, 이어서 접안렌즈를 포함한 전체 광학계의 횡배율(상이 크기/물체 크기)을 구하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
물체와 형광판 사이의 거리는 \(2\ \text{m}=200\ \text{cm}\) 이고, 대물렌즈의 초점거리는 \(f_1=18\ \text{cm}\)이다. 대물렌즈에서 물체까지의 거리와 형광판까지의 거리를 각각 \(s_1, s_1’\)이라 두면
$$ s_1 + s_1′ = 200 \quad (\text{cm}) $$
얇은 렌즈 방정식은
$$ \frac{1}{f_1} = \frac{1}{s_1} + \frac{1}{s_1′}. $$
위 두 식에서 \(s_1′ = 200 – s_1\) 을 대입하면
$$ \frac{1}{18} = \frac{1}{s_1} + \frac{1}{200-s_1} = \frac{200}{s_1(200-s_1)}. $$
따라서
$$ s_1(200 – s_1) = 200\cdot18 = 3600 $$
이므로
$$ s_1^2 – 200s_1 + 3600 = 0 $$
을 얻는다. 근의 공식으로 풀면
$$ s_1 = \frac{200 \pm \sqrt{200^2 – 4\cdot3600}}{2} = \frac{200 \pm 160}{2} = 180,\ 20. $$
대물렌즈는 보통 물체에 비해 형광판 쪽에 더 가깝게 놓이므로 \(s_1 = 180\ \text{cm}\), \(s_1′ = 20\ \text{cm}\) 를 취한다.
따라서 대물렌즈와 형광판 사이의 거리는
$$ s_1′ = 20\ \text{cm} $$
이다.
다음으로 전체 횡배율을 구한다. 두 렌즈 사이의 거리는 \(25\ \text{cm}\) 이므로, 형광판과 접안렌즈(초점거리 \(f_2=6\ \text{cm}\)) 사이의 거리는
$$ s_2 = 25 – s_1′ = 25 – 20 = 5\ \text{cm} $$
이다. 접안렌즈에 대해 얇은 렌즈 방정식을 적용하면
$$ \frac{1}{f_2} = \frac{1}{s_2} + \frac{1}{s_2′} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{6} = \frac{1}{5} + \frac{1}{s_2′}. $$
따라서
$$ \frac{1}{s_2′} = \frac{1}{6} – \frac{1}{5} = -\frac{1}{30} \quad\Rightarrow\quad s_2′ = -30\ \text{cm}, $$
즉 접안렌즈는 형광판의 상을 렌즈 왼쪽 30 cm 지점(가상상)으로 만든다.
각 렌즈의 횡배율은
$$ m_1 = -\frac{s_1′}{s_1} = -\frac{20}{180} = -\frac{1}{9}, \qquad m_2 = -\frac{s_2′}{s_2} = -\frac{-30}{5} = 6 $$
이므로 전체 횡배율은
$$ m = m_1 m_2 = -\frac{1}{9}\cdot 6 = -\frac{2}{3}. $$
크기만 보면 상의 크기는 물체의 크기의 \(\dfrac{2}{3}\) 배이므로, 투시경의 횡배율(크기비)은
$$ |m| = \frac{2}{3} $$
이다. (부호가 음수인 것은 상이 상하가 바뀌어 형성됨을 의미한다.)
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>