정답
\(\{f_n\}\)은 \([0,\infty)\)에서 \(f(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x-x}\)로 고른수렴하고, \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)\,dx=\ln(e-1)\)이다.
출제 의도
주어진 함수열을 적절히 정리하여(망원합/등비급수) 극한함수를 찾고, 남는 항들의 균등한 상계를 통해 \([0,\infty)\)에서 고른수렴을 보인 뒤, 고른수렴에 의해 적분과 극한을 교환하여 극한 적분값을 계산하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
주어진 식을 정리하기 위해 \(r(x)=xe^{-x}\)라 두면
$$ \sum_{k=0}^{n-1} x^k\left(e^{-kx}-e^{-(k+1)x}\right) =\sum_{k=0}^{n-1}\left(x^k e^{-kx}-x^k e^{-(k+1)x}\right) =(1-e^{-x})\sum_{k=0}^{n-1}(xe^{-x})^k =(1-e^{-x})\sum_{k=0}^{n-1}r(x)^k $$
\(x\ge 0\)에서 함수 \(r(x)=xe^{-x}\)의 최댓값은 \(x=1\)에서 \(1/e\)이므로 \(0\le r(x)\le 1/e<1\)이다. 따라서 등비급수 합을 쓰면
$$ \sum_{k=0}^{n-1}r(x)^k=\frac{1-r(x)^n}{1-r(x)} $$
이므로
$$ f_n(x)=\frac{x}{1+e^{nx}}+(1-e^{-x})\frac{1-r(x)^n}{1-r(x)} $$
이제 \(n\to\infty\)에서 \(r(x)^n\to 0\)이므로 점wise 극한은
$$ f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=(1-e^{-x})\frac{1}{1-r(x)}=(1-e^{-x})\frac{1}{1-xe^{-x}} $$
이를 더 간단히 쓰면
$$ f(x)=\frac{(e^x-1)/e^x}{(e^x-x)/e^x}=\frac{e^x-1}{e^x-x} $$
이제 \([0,\infty)\)에서 고른수렴을 보인다. 먼저 첫 항에 대해 \(x\ge 0\)에서
$$ 0\le \frac{x}{1+e^{nx}}\le x e^{-nx} $$
이고, \(x e^{-nx}\)의 최댓값은 \(x=\frac1n\)에서 \(\frac{1}{ne}\)이므로
$$ \sup_{x\ge 0}\frac{x}{1+e^{nx}}\le \frac{1}{ne}\xrightarrow[n\to\infty]{}0 $$
다음으로 등비급수 꼬리항을 보면
$$ \left|(1-e^{-x})\frac{1-r(x)^n}{1-r(x)}-(1-e^{-x})\frac{1}{1-r(x)}\right| =(1-e^{-x})\frac{r(x)^n}{1-r(x)} $$
\(0\le r(x)\le 1/e\), \(0\le 1-e^{-x}\le 1\), 그리고 \(1-r(x)\ge 1-\frac1e\)이므로
$$ 0\le (1-e^{-x})\frac{r(x)^n}{1-r(x)} \le \frac{(1/e)^n}{1-1/e} =\frac{e}{e-1}\left(\frac{1}{e}\right)^n \xrightarrow[n\to\infty]{}0 $$
따라서 두 부분 모두 \([0,\infty)\)에서 균등하게 0으로 수렴하므로 \(f_n\to f\)가 \([0,\infty)\)에서 고른수렴한다.
이제 \([0,1]\subset[0,\infty)\)에서 특히 고른수렴하므로 적분과 극한을 교환할 수 있어
$$ \lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)\,dx=\int_0^1 f(x)\,dx $$
그런데
$$ f(x)=\frac{e^x-1}{e^x-x}=\frac{d}{dx}\ln(e^x-x) $$
이므로
$$ \int_0^1 f(x)\,dx=\left[\ln(e^x-x)\right]_{0}^{1}=\ln(e-1)-\ln(1)=\ln(e-1) $$
결론적으로 \(\{f_n\}\)은 \([0,\infty)\)에서 \(f(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x-x}\)로 고른수렴하며, \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)\,dx=\ln(e-1)\)이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>