정답
\(f(x)=\dfrac{x^2}{1-x}\), \(b_5=\dfrac{35}{128}\)이다.
출제 의도
주어진 수열을 거듭제곱급수로 옮겨 생성함수를 만들고, 이를 제곱근 형태로 변형한 뒤 이항급수 전개를 이용해 특정 계수를 정확히 추출할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
생성함수를 \(f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\)라 두면, \(a_0=a_1=0\), \(a_n=1\ (n\ge 2)\)이므로
$$ f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} x^n=\frac{x^2}{1-x} $$
\(0
$$
\sqrt{f(x)}=\sqrt{\frac{x^2}{1-x}}=\frac{x}{\sqrt{1-x}}=x(1-x)^{-1/2}
$$
이항급수 전개를 사용하면
$$
(1-x)^{-1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}\frac{x^n}{4^n}
$$
따라서
$$
\sqrt{f(x)}=x\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}\frac{x^n}{4^n}
=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}\frac{x^{n+1}}{4^n}
=\sum_{m=1}^{\infty}\binom{2(m-1)}{m-1}\frac{x^{m}}{4^{m-1}}
$$
\(\sqrt{f(x)}=\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n\)이므로 \(b_0=0\), 그리고 \(n\ge 1\)에 대해
$$
b_n=\binom{2(n-1)}{n-1}\frac{1}{4^{\,n-1}}
$$
따라서
$$
b_5=\binom{8}{4}\frac{1}{4^{4}}=\frac{70}{256}=\frac{35}{128}
$$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>