정답
\((n,a)=(3,0),(3,2),(5,2),(5,3),(5,4)\)이다.
출제 의도
\(\mathbb{Z}_n[x]\)에서 몫환이 정역이 되기 위한 조건(기저환이 정역이어야 함)과, 유한체 위 2차 다항식의 기약성 판정(근 존재 여부 또는 판별식의 제곱잉여 여부)을 이용해 몫환의 위수(원소 수)까지 제한하는 종합 판단을 묻는다.
풀이 과정
몫환 \(\mathbb{Z}_n[x]/I\)가 정역이 되려면 우선 \(\mathbb{Z}_n\) 자체가 정역이어야 한다. \(\mathbb{Z}_n\)이 정역이려면 \(n\)이 소수여야 하므로 \(n=p\) (소수)이다. 또한 “홀수인 표수” 조건에 의해 \(p\)는 홀수 소수이다.
이때 \(\mathbb{Z}_p[x]/\langle f(x)\rangle\)에서 \(f(x)=x^2+ax+1-a\)는 \(\mathbb{F}_p[x]\)의 2차 다항식이다. \(\mathbb{F}_p[x]/\langle f\rangle\)가 정역이 되려면 \(\langle f\rangle\)가 소아이디얼이어야 하고, 이는 \(f\)가 \(\mathbb{F}_p\)에서 기약이어야 함과 동치이다.
또한 \(\deg f=2\)이므로 \(f\)가 기약이면 몫환은 \(\mathbb{F}_{p^2}\)가 되어 위수는 \(p^2\)이다. 문제에서 위수가 40 이하이므로 \(p^2\le 40\)이고, 가능한 홀수 소수는 \(p=3,5\)뿐이다.
이제 각 \(p\)에 대해 \(f(x)=x^2+ax+1-a\)가 \(\mathbb{F}_p\)에서 기약(즉, \(\mathbb{F}_p\)에 근이 없음)인 \(a\)를 찾는다.
\(p=3\)일 때 \(a\in\{0,1,2\}\)이다.
$$ \begin{aligned} a=0&:\ f(x)=x^2+1\quad(\mathbb{F}_3\text{에서 }x=0,1,2\text{ 대입 시 }0\text{이 되지 않음})\Rightarrow \text{기약}\\ a=1&:\ f(x)=x^2+x=x(x+1)\Rightarrow \text{가약}\\ a=2&:\ f(x)=x^2+2x+2\quad(\mathbb{F}_3\text{에서 근 없음})\Rightarrow \text{기약} \end{aligned} $$
따라서 \(p=3\)에서는 \(a=0,2\)가 가능하여 \((n,a)=(3,0),(3,2)\)이다.
\(p=5\)일 때는 2차식이므로 판별식 \(\Delta\)를 사용한다. \(f(x)=x^2+ax+(1-a)\)의 판별식은 \(\Delta=a^2-4(1-a)=a^2+4a-4\)이고, \(\mathbb{F}_5\)에서 \(\Delta\)가 제곱잉여이면 근이 존재하여 가약, 제곱비잉여이면 기약이다.
$$ \Delta \equiv a^2+4a-4 \pmod 5 $$
\(\mathbb{F}_5\)에서 제곱잉여는 \(\{0,1,4\}\), 제곱비잉여는 \(\{2,3\}\)이다. 각 \(a=0,1,2,3,4\)에 대해 계산하면 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} a=0&:\ \Delta\equiv -4\equiv 1 \ (\text{제곱잉여})\Rightarrow \text{가약}\\ a=1&:\ \Delta\equiv 1+4-4\equiv 1 \ (\text{제곱잉여})\Rightarrow \text{가약}\\ a=2&:\ \Delta\equiv 4+8-4\equiv 3 \ (\text{제곱비잉여})\Rightarrow \text{기약}\\ a=3&:\ \Delta\equiv 9+12-4\equiv 2 \ (\text{제곱비잉여})\Rightarrow \text{기약}\\ a=4&:\ \Delta\equiv 16+16-4\equiv 3 \ (\text{제곱비잉여})\Rightarrow \text{기약} \end{aligned} $$
따라서 \(p=5\)에서는 \(a=2,3,4\)가 가능하여 \((n,a)=(5,2),(5,3),(5,4)\)이다.
결론적으로 조건(홀수 표수, 정역, 위수 \(\le 40\), \(0\le a <풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>