정답
\(p=\dfrac12 P_0\) 가 되는 고도는 \[ H=\dfrac{R T}{g}\ln 2 \] 이고, 주어진 수치로 계산하면 \[ H \approx 5.3\ \text{km} \] 이다. 기압은 고도에 따라 \[ p(z)=P_0\exp\!\left(-\dfrac{g z}{R T}\right) \] 와 같이 연직으로 지수적으로 감소한다.
출제 의도
대기가 등온(isothermal)이고 정역학 평형일 때, 이상기체 상태방정식과 정역학 평형식을 이용해 기압의 연직 분포를 유도하고, 그로부터 주어진 비율(50%)로 기압이 줄어드는 고도와 실제 값을 계산하는 능력을 평가하는 문제이다.
풀이 과정
정역학 평형 상태에서 기압 \(p\) 와 밀도 \(\rho\) 는 다음 관계를 가진다.
$$ \frac{dp}{dz}=-\rho g $$
대기가 이상기체이고 온도 \(T\) 가 고도에 따라 일정하므로 \(\,p=\rho R T\) 이고, 따라서 \(\rho =\dfrac{p}{R T}\) 이다.
이를 정역학 평형식에 대입하면
$$ \frac{dp}{dz} = -\frac{p}{R T}g $$
이므로, 이를 정리하면
$$ \frac{1}{p}\,dp = -\frac{g}{R T}\,dz $$
양변을 \(z=0\) 에서 \(z=H\) 까지 적분하고, 기압은 \(z=0\) 에서 \(P_0\), \(z=H\) 에서 \(p\) 라고 하면
$$ \int_{P_0}^{p}\frac{1}{p}\,dp = -\frac{g}{R T}\int_0^{H} dz $$
$$ \ln\frac{p}{P_0} = -\frac{gH}{R T} $$
따라서
$$ p = P_0\exp\!\left(-\frac{gH}{R T}\right) $$
이 되고, 일반적인 고도 \(z\) 에 대해
$$ p(z) = P_0\exp\!\left(-\frac{g z}{R T}\right) $$
와 같이 기압이 고도에 따라 지수적으로 감소함을 알 수 있다.
이제 \(p=\dfrac12 P_0\) 를 대입하면
$$ \frac12 P_0 = P_0\exp\!\left(-\frac{gH}{R T}\right) \Rightarrow \frac12 = \exp\!\left(-\frac{gH}{R T}\right) $$
양변에 자연로그를 취하면
$$ \ln\frac12 = -\frac{gH}{R T} \Rightarrow H = \frac{R T}{g}\ln 2 $$
을 얻는다. 이것이 첫 번째에서 요구한 식이다.
다음으로 수치를 이용해 \(H\) 를 구한다. \(z=0\) 에서 이상기체 상태방정식 \(P_0=\rho_0 R T\) 를 사용하면
$$ T = \frac{P_0}{\rho_0 R} $$
주어진 값 \(P_0 = 1000\ \text{hPa} = 1.0\times10^5\ \text{Pa}\), \(\rho_0 = \dfrac{4}{3}\ \text{kg m}^{-3}\), \(R = 300\ \text{J kg}^{-1}\text{K}^{-1}\) 를 대입하면
$$ T = \frac{1.0\times10^5}{\dfrac{4}{3}\times300} = \frac{1.0\times10^5}{400} = 250\ \text{K} $$
이제 \(H=\dfrac{R T}{g}\ln 2\) 에 \(R=300\ \text{J kg}^{-1}\text{K}^{-1}\), \(T=250\ \text{K}\), \(g=10\ \text{m s}^{-2}\), \(\ln 2 \approx 0.7\) 을 대입하면
$$ H = \frac{300\times 250}{10}\times 0.7 = 7500\times 0.7 = 5250\ \text{m} \approx 5.3\ \text{km} $$
따라서 이 대기에서 해면 기압의 50%가 되는 고도는 약 \(5.3\ \text{km}\) 이다.
정리하면, 기압은 고도에 따라
$$ p(z)=P_0\exp\!\left(-\frac{z}{H_s}\right), \quad H_s=\frac{R T}{g} $$
와 같이 연직으로 지수적으로 감소하며, 여기서 \(H_s\) 를 대기의 스케일 높이(scale height)라고 한다. 위에서 구한 \(H\) 는 \(\ln 2\) 배만큼의 스케일 높이에 해당하므로, 고도가 \(H\) 만큼 증가할 때마다 기압은 원래 값의 절반으로 줄어든다고 설명할 수 있다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>