정답
\(u_1=\dfrac{v_1}{2}\), \(\dfrac{v_1}{v_0}=\dfrac{2}{3}\), \(\dfrac{l_1}{l_0}=3\).
출제 의도
1차원 탄성충돌에서 운동량 보존과 역학적 에너지 보존을 적용해 충돌 후 속도를 구하고, 벽과의 탄성반사까지 포함한 시간-거리 관계로 두 번째 충돌 위치 비를 계산하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
오른쪽을 (+)로 둔다. 첫 충돌 직후 A는 왼쪽으로 속력 \(v_1\)로, B는 오른쪽으로 속력 \(u_1\)로 움직이므로 A의 속도는 \(-v_1\), B의 속도는 \(+u_1\)이다.
첫 충돌(탄성충돌)에서 운동량 보존과 역학적 에너지 보존을 적용한다.
$$ m v_0 = m(-v_1)+5m u_1 $$
$$ \frac12 m v_0^2=\frac12 m v_1^2+\frac12(5m)u_1^2 $$
첫 식에서
$$ v_0=-v_1+5u_1 \quad\Rightarrow\quad u_1=\frac{v_0+v_1}{5} $$
이를 에너지식에 대입한다.
$$ v_0^2=v_1^2+5\left(\frac{v_0+v_1}{5}\right)^2 =v_1^2+\frac{(v_0+v_1)^2}{5} $$
$$ 5v_0^2=5v_1^2+v_0^2+2v_0v_1+v_1^2 $$
$$ 4v_0^2=6v_1^2+2v_0v_1 \quad\Rightarrow\quad 2v_0^2=3v_1^2+v_0v_1 $$
여기서 \(r=\dfrac{v_1}{v_0}\)라 두면
$$ 2=3r^2+r \quad\Rightarrow\quad 3r^2+r-2=0 $$
$$ r=\frac{-1\pm 5}{6} $$
속력비이므로 \(r>0\)인 해를 택해
$$ \frac{v_1}{v_0}=\frac{2}{3} $$
따라서 \(v_0=\dfrac{3}{2}v_1\)이고, 앞에서 얻은 \(u_1=\dfrac{v_0+v_1}{5}\)에 대입하면
$$ u_1=\frac{\frac{3}{2}v_1+v_1}{5} =\frac{\frac{5}{2}v_1}{5} =\frac{v_1}{2} $$
이제 거리비 \(\dfrac{l_1}{l_0}\)를 구한다. 첫 충돌은 벽에서 거리 \(l_0\) 지점에서 일어난다. 충돌 직후 A는 벽까지 거리 \(l_0\)를 속력 \(v_1\)로 가므로 벽에 도달하는 시간은
$$ t=\frac{l_0}{v_1} $$
그동안 B는 오른쪽으로 이동하여, A가 벽에 닿는 순간 B의 위치(벽으로부터 거리)는
$$ x_B=l_0+u_1 t=l_0+u_1\frac{l_0}{v_1} =l_0\left(1+\frac{u_1}{v_1}\right) $$
A는 벽에서 탄성반사하여 즉시 오른쪽으로 속력 \(v_1\)로 출발한다. 이때 A(0)와 B(\(x_B\))의 거리는 \(x_B\)이고, 둘 다 오른쪽으로 움직이므로 상대속력은 \(v_1-u_1\)이다. 다시 충돌하기까지 시간은
$$ t’=\frac{x_B}{v_1-u_1} $$
두 번째 충돌 위치 \(l_1\)은 A가 이동한 거리이므로
$$ l_1=v_1 t’=\frac{v_1 x_B}{v_1-u_1} =\frac{v_1}{v_1-u_1}\,l_0\left(1+\frac{u_1}{v_1}\right) =l_0\frac{v_1+u_1}{v_1-u_1} $$
따라서
$$ \frac{l_1}{l_0}=\frac{v_1+u_1}{v_1-u_1} $$
여기에 \(u_1=\dfrac{v_1}{2}\)를 대입하면
$$ \frac{l_1}{l_0}=\frac{v_1+\frac{v_1}{2}}{v_1-\frac{v_1}{2}} =\frac{\frac{3}{2}v_1}{\frac{1}{2}v_1}=3 $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>