정답
\(^2\mathrm{H}_2\)의 회전 상수는 \(\tilde B = 30.5\;\mathrm{cm^{-1}}\) 이고, \(^2\mathrm{H}_2\)의 결합 해리 에너지는 \(D_0 \approx 4.38\times10^2\;\mathrm{kJ\,mol^{-1}}\) 이다.
출제 의도
동일한 퍼텐셜 에너지 곡선을 갖는 동위원소 분자에서 진동수와 회전 상수가 환원 질량에 어떻게 의존하는지를 이해하고, 이를 이용해 동위원소 분자의 분광 상수 및 결합 해리 에너지를 계산할 수 있는지를 묻는 문제이다.
풀이 과정
동일한 퍼텐셜 에너지 곡선을 갖는 이원자 분자에서
\(\displaystyle \tilde B \propto \frac{1}{\mu}, \qquad \tilde\nu \propto \frac{1}{\sqrt{\mu}}\)
가 성립한다. 여기서 \(\mu\)는 환원 질량이다.
\(^1\mathrm{H}_2\)와 \(^2\mathrm{H}_2\)의 진동 파수는 각각 \(\tilde\nu_H = 4400\;\mathrm{cm^{-1}}\), \(\tilde\nu_D = 3118\;\mathrm{cm^{-1}}\) 이므로
$$ \frac{\tilde\nu_D}{\tilde\nu_H} =\sqrt{\frac{\mu_H}{\mu_D}} \quad\Rightarrow\quad \frac{\mu_H}{\mu_D} =\left(\frac{\tilde\nu_D}{\tilde\nu_H}\right)^2 =\left(\frac{3118}{4400}\right)^2 \approx 0.502. $$
따라서 회전 상수 비는
$$ \frac{\tilde B_D}{\tilde B_H} =\frac{\mu_H}{\mu_D}\approx 0.502 $$
이므로
$$ \tilde B_D \approx 0.502\times 60.8 \approx 30.5\;\mathrm{cm^{-1}}. $$
다음으로 결합 해리 에너지를 구한다. \(^1\mathrm{H}_2\)의 결합 해리 에너지 \(D_0(H)\)는 바닥 진동 상태(\(v=0\))에서의 분리까지의 에너지이다. 퍼텐셜 우물의 깊이를 \(D_e\)라 하면 (조화 진동자 근사에서)
$$ D_0 = D_e – \frac12 h c \tilde\nu $$
이다. 에너지를 파수 단위로 쓰면 \(1\;\mathrm{cm^{-1}} = 0.01\;\mathrm{kJ\,mol^{-1}}\) 이므로
$$ D_0(H)=432\;\mathrm{kJ\,mol^{-1}} \;\Rightarrow\; D_0(H)=\frac{432}{0.01}=43200\;\mathrm{cm^{-1}}. $$
따라서
$$ D_e = D_0(H) + \frac12\tilde\nu_H =43200 + \frac{4400}{2} =43200 + 2200 =45400\;\mathrm{cm^{-1}}. $$
\(^2\mathrm{H}_2\)도 동일한 퍼텐셜 곡선을 가지므로 \(D_e\)는 같다. 따라서 \(^2\mathrm{H}_2\)의 결합 해리 에너지(파수 단위)는
$$ D_0(D) = D_e – \frac12\tilde\nu_D =45400 – \frac{3118}{2} =45400 – 1559 =43841\;\mathrm{cm^{-1}}. $$
이를 다시 \(\mathrm{kJ\,mol^{-1}}\) 단위로 바꾸면
$$ D_0(D) = 43841\times 0.01 \approx 4.38\times10^2\;\mathrm{kJ\,mol^{-1}} \simeq 438\;\mathrm{kJ\,mol^{-1}}. $$
따라서
\(^2\mathrm{H}_2\)의 회전 상수는 \(\tilde B_D \approx 30.5\;\mathrm{cm^{-1}}\), \(^2\mathrm{H}_2\)의 결합 해리 에너지는 \(D_0(D) \approx 438\;\mathrm{kJ\,mol^{-1}}\) 이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>