정답
\(a = 1\), 선적분의 값은 \(6\ln 2\)이다.
출제 의도
주어진 곱조건 \( -1 \le xy \le 1 \)과 구간 \( a \le x \le a+1 \)로 정의된 영역의 넓이를 적분으로 구하고, 이를 이용하여 상수 \(a\)를 결정하는 능력을 평가한다. 또한 그린 정리를 이용해 평면 곡선 적분을 영역적분으로 바꾸어 빠르게 계산하는지를 묻는다.
풀이 과정
영역 \(D\)는
\[ D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid -1 \le xy \le 1,\ a \le x \le a+1\},\quad a>0 \]
이다. \(a>0\)이므로 구간 \([a,a+1]\)에서 \(x>0\)이고, 조건 \(-1\le xy\le 1\)은 \(y\)에 대해
\[ -\frac{1}{x}\le y\le \frac{1}{x} \]
이 된다. 따라서 넓이는
\[ S_D = \int_{x=a}^{a+1}\left(\frac{1}{x}-\left(-\frac{1}{x}\right)\right)\,dx = \int_{a}^{a+1}\frac{2}{x}\,dx = 2\bigl[\ln x\bigr]_{a}^{a+1} = 2\ln\frac{a+1}{a} = 2\ln\left(1+\frac{1}{a}\right). \]
문제에서 \(S_D = 2\ln 2\)라 했으므로
\[ 2\ln\left(1+\frac{1}{a}\right)=2\ln 2 \quad\Rightarrow\quad \ln\left(1+\frac{1}{a}\right)=\ln 2 \quad\Rightarrow\quad 1+\frac{1}{a}=2 \quad\Rightarrow\quad a=1. \]
따라서 \(a=1\)이다. 이때 영역은
\[ 1\le x\le 2,\quad -\frac{1}{x}\le y\le \frac{1}{x} \]
가 된다.
이제 곡선 \(C\)를 시계반대방향(양의 방향)으로 한 바퀴 도는 선적분
\[ \int_C (2x-y)\,dx + (2x-y)\,dy \]
을 계산한다. 함수
\[ P(x,y)=2x-y,\quad Q(x,y)=2x-y \]
에 대해 그린 정리를 적용하면
\[ \int_C P\,dx+Q\,dy =\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA. \]
편도함수를 구하면
\[ \frac{\partial Q}{\partial x}=2,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=-1, \]
이므로
\[ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =2-(-1)=3 \]
이다. 따라서
\[ \int_C (2x-y)\,dx + (2x-y)\,dy =\iint_D 3\,dA =3\cdot S_D. \]
앞에서 \(S_D = 2\ln 2\)였으므로
\[ \int_C (2x-y)\,dx + (2x-y)\,dy =3\cdot 2\ln 2 =6\ln 2. \]
결론적으로 \(a=1\), 선적분의 값은 \(6\ln 2\)이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>