정답
반사각은 \( \theta_r = \alpha – \theta_0 \), 입사광선과 반사광선 사이의 각은 \( \beta = 2(180^\circ-\alpha) = 360^\circ – 2\alpha \) 이다.
출제 의도
두 개의 평면거울에서 빛이 두 번 반사될 때, 각 거울에서의 반사 법칙(입사각 = 반사각)을 이용하여 각도를 추적하는 능력을 평가하는 문제이다.
또한 두 번의 선대칭(평면거울에 의한 반사)이 합성되면 회전변환이 되어, 거울 사이의 각도와 입사광선과 최종 반사광선 사이의 각도 사이에 일정한 관계가 생긴다는 것을 이해하는지를 묻는다.
풀이 과정
먼저 아래에 있는 첫 번째 평면거울에 입사한 빛을 생각한다.
빛이 첫 번째 거울에 입사각 \( \theta_0 \)로 들어가면, 반사 법칙에 의해 반사각도 \( \theta_0 \)가 된다.
따라서 첫 번째 거울에서 한 번 반사된 후, 광선은 첫 번째 거울에 대하여 여전히 각도 \( \theta_0 \)를 이루면서 두 번째 거울을 향해 진행한다.
두 거울 사이의 각이 \( \alpha \) 이므로, 첫 번째 거울과 두 번째 거울 사이의 안쪽 각이 \( \alpha \)이다.
첫 번째 거울에서 반사된 광선과 두 번째 거울 사이의 각은 이 안쪽 각에서 \( \theta_0 \)를 뺀 값이므로
$$ \text{(두 번째 거울에서의 입사각)} = \alpha – \theta_0 $$
이다(여기서 각은 모두 거울 면과 이루는 각으로 본다).
반사 법칙에 따라 두 번째 거울에서의 반사각 \( \theta_r \)는 입사각과 같으므로
$$ \theta_r = \alpha – \theta_0 $$
을 얻는다.
이제 입사광선과 최종 반사광선 사이의 각 \( \beta \)를 구한다.
거울에 의한 반사는 각각 거울의 직선에 대한 선대칭이다. 두 개의 서로 각 \( \alpha \)를 이루는 직선에 대한 연속된 선대칭은, 광선의 진행 방향을 각도 \( 2\alpha \)만큼 회전시키는 회전변환과 같다.
즉, 처음 입사할 때의 진행 방향과 두 번째 반사 후 최종 진행 방향 사이의 방향 차는 \( 2\alpha \)이다.
그러나 우리가 구하는 것은 두 광선 사이의 끼인각 \( \beta \)이므로, 방향 차가 \( 2\alpha \)일 때 실제 끼인각은
$$ \beta = 360^\circ – 2\alpha = 2(180^\circ – \alpha) $$
이 된다. (주어진 조건 \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\) 에서 \(2\alpha\)는 \(180^\circ\)보다 크므로, 두 방향 벡터 사이의 작은 각은 \(360^\circ - 2\alpha\)가 된다.)
따라서 구하는 관계는
$$ \theta_r = \alpha – \theta_0, \qquad \beta = 2(180^\circ – \alpha) = 360^\circ – 2\alpha $$
이다.