정답
\( K_s=\dfrac15 Mr^2\omega^2,\qquad K_o=\dfrac12\left(\dfrac13 mL^2+ML^2+\dfrac25 Mr^2\right)\omega^2 \)
출제 의도
강체의 회전 운동에서 회전축에 대한 관성모멘트를 이용하여 운동 에너지를 구하는 문제이다. 구의 관성모멘트와 막대의 관성모멘트, 그리고 평행축 정리를 사용할 수 있어야 한다.
풀이 과정
어느 경우든 물체 전체는 각속도 \(\omega\) 로 \(z\)축 둘레를 회전하고 있으므로, 물체의 운동 에너지는
$$ K=\frac12 I\omega^2 $$
꼴이 된다. 따라서 각 경우에서 \(z\)축에 대한 전체 관성모멘트 \(I\) 를 구하면 된다.
(가)에서 구의 중심은 \(z\)축 위에 있고, 막대도 \(z\)축과 일치한다고 보므로(두께 무시), 막대의 관성모멘트는 \(0\) 이고 구만 기여한다. 자료에 의하면 구의 중심에 대한 관성모멘트는
$$ I_{\text{sphere, (가)}}=\frac25 Mr^2 $$
이므로
$$ K_s=\frac12\left(\frac25 Mr^2\right)\omega^2 =\frac15 Mr^2\omega^2 $$
이다.
(나)에서 막대는 \(z\)축을 지나는 한 끝을 회전축으로 하여 수평으로 놓여 있다. 자료에서 막대의 끝을 축으로 하는 관성모멘트가
$$ I_{\text{rod}}=\frac13 mL^2 $$
이므로 그대로 쓴다.
구는 중심이 \(z\)축으로부터 거리 \(L\) 떨어져 있으므로, 평행축 정리를 사용하면 \(z\)축에 대한 구의 관성모멘트는
$$ I_{\text{sphere, (나)}}=\frac25 Mr^2+ML^2 $$
이다.
따라서 전체 관성모멘트는
$$ I=I_{\text{rod}}+I_{\text{sphere, (나)}} = \frac13 mL^2 + ML^2 + \frac25 Mr^2 $$
이 되고, 운동 에너지는
$$ K_o=\frac12 I\omega^2 =\frac12\left(\frac13 mL^2+ML^2+\frac25 Mr^2\right)\omega^2 $$
이 된다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>