정답
\[ \lvert\chi_A\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\qquad \lvert\chi_B\rangle=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\qquad \text{B를 통과한 입자 수}= \frac{N}{4}. \]
출제 의도
스핀 1/2 입자의 상태벡터를 행렬로 표현하고, 측정(스핀 성분 측정)에 의한 상태 붕괴와 확률을 이용해 다음 장치에서의 입자 상태와 입자 수를 계산하는 연습을 시키는 문제이다. 특히 서로 다른 축에 대한 스핀 고유상태의 기저변환을 할 수 있어야 한다.
풀이 과정
주어진 스핀 상태는 \(S_z\) 의 두 고유상태 \(\{\lvert +z\rangle,\lvert -z\rangle\}\) 를 기저로 할 때
$$ \lvert\chi_0\rangle =\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\ i\end{pmatrix} $$
이다. 여기서 \(\lvert +z\rangle\) 에 대응하는 벡터가 \(\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\), \(\lvert -z\rangle\) 가 \(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\) 이다.
먼저 장치 A는 \(S_z\) 를 측정하여 \(\,+z\) 방향(고유값 \(+\hbar/2\))인 입자만 통과시킨다. 입자 한 개가 A를 통과할 확률은 상태 \(\lvert\chi_0\rangle\) 에서 \(\lvert +z\rangle\) 로의 확률이다.
$$ \langle +z\vert\chi_0\rangle =\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix} \frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\ i\end{pmatrix} =\frac1{\sqrt2}, $$
$$ P_A = \left|\langle +z\vert\chi_0\rangle\right|^2 =\frac12. $$
따라서 A를 통과한 입자 수는 \(N P_A = N/2\) 이고, 통과한 뒤 규격화된 상태는
$$ \lvert\chi_A\rangle=\lvert +z\rangle =\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} $$
이다.
다음으로 장치 B는 \(S_x\) 를 측정하고, \(\,+x\) 방향(고유값 \(+\hbar/2\))인 입자만 통과시킨다. \(S_x\) 의 고유벡터를 \(\lvert \pm x\rangle\) 라 하면, \(S_z\) 기저에서
$$ \lvert +x\rangle=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\qquad \lvert -x\rangle=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} $$
이다.
A를 나온 상태는 \(\lvert +z\rangle\) 이므로, B를 통과할 확률은
$$ \langle +x\vert +z\rangle =\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} =\frac1{\sqrt2}, $$
$$ P_B = \left|\langle +x\vert +z\rangle\right|^2 = \frac12. $$
따라서 입자발생장치에서 방출된 \(N\)개 중 B까지 통과하는 입자 수는
$$ N_{\text{B 통과}} = N P_A P_B = N\times\frac12\times\frac12 = \frac{N}{4} $$
이다. B를 통과한 후의 규격화된 스핀 상태는 \(\lvert +x\rangle\) 이므로
$$ \lvert\chi_B\rangle =\lvert +x\rangle =\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} $$
이 된다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>