정답
\(F(x)=\dfrac{2U_0}{a^4}x(a^2-x^2)\), \quad \(x_A=-a\). 안정 평형점에서의 최소 속력은 \(\displaystyle v_{\min}=\sqrt{\dfrac{U_0}{m}}\) 이다.
출제 의도
퍼텐셜에서 힘을 미분으로 구하는 법, 안정 평형점을 찾는 법, 그리고 에너지 보존을 이용하여 입자가 퍼텐셜 장벽을 넘어 양쪽 우물 사이를 왕복 운동하기 위한 최소 속력을 구하게 하는 문제이다.
풀이 과정
퍼텐셜 에너지는
$$ U(x)=U_0\!\left(\frac{x^4}{2a^4}-\frac{x^2}{a^2}+\frac12\right) $$
이다. 입자가 받는 힘은
$$ F(x)=-\frac{dU}{dx} $$
이므로 미분하면
$$ \frac{dU}{dx} =U_0\!\left(\frac{4x^3}{2a^4}-\frac{2x}{a^2}\right) =U_0\left(\frac{2x^3}{a^4}-\frac{2x}{a^2}\right) =\frac{2U_0x(x^2-a^2)}{a^4} $$
따라서 힘은
$$ F(x)=-\frac{dU}{dx} =\frac{2U_0x(a^2-x^2)}{a^4} $$
이다.
평형점은 \(F(x)=0\) 또는 \(\dfrac{dU}{dx}=0\) 이 되는 점이므로
$$ \frac{2U_0x(x^2-a^2)}{a^4}=0 \quad\Rightarrow\quad x=0,\ \pm a $$
를 얻는다. 그림에서 \(x_A\) 는 왼쪽 안정 평형점이므로
$$ x_A=-a $$
이다 (오른쪽은 \(x_B=+a\)).
이제 입자가 \(x_A, x_B\) 를 모두 지나 왕복 운동을 하려면, 가운데 언덕 \(x=0\) 을 넘을 수 있을 만큼의 에너지가 있어야 한다. 따라서 안정 평형점에서의 총에너지가 중앙의 최대 퍼텐셜 \(U(0)\) 이상이면 된다.
먼저 각 점에서의 퍼텐셜 값을 구한다.
$$ U(\pm a) =U_0\left(\frac{a^4}{2a^4}-\frac{a^2}{a^2}+\frac12\right) =U_0\left(\frac12-1+\frac12\right)=0, $$
$$ U(0) =U_0\left(0-0+\frac12\right) =\frac{U_0}{2}. $$
따라서 입자가 안정 평형점(예: \(x_B=a\))에서 속도 \(v\) 로 출발할 때 총에너지는
$$ E = \frac12 mv^2 + U(\pm a) = \frac12 mv^2. $$
최소 속력은 이 총에너지가 막 중앙 장벽 높이에 도달하는 경우로 잡으면 되므로
$$ \frac12 mv_{\min}^2 = U(0) = \frac{U_0}{2} $$
에서
$$ v_{\min}^2 = \frac{U_0}{m} \quad\Rightarrow\quad v_{\min} = \sqrt{\frac{U_0}{m}} $$
을 얻는다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>