정답
\(\displaystyle T=\frac12 m\left(\dot r^{\,2}+r^2\dot\theta^{\,2}\right)\), \(\displaystyle L=\frac12 m\left(\dot r^{\,2}+r^2\dot\theta^{\,2}\right)-\frac12 (k_1+k_2)r^2\), 그리고 \(r\)에 대한 운동방정식은 \(\displaystyle m\ddot r-mr\dot\theta^{\,2}+(k_1+k_2)r=0\)이다.
출제 의도
회전하는 좌표(관의 방향각 \(\theta\))와 반지름 방향 변위 \(r\)를 일반화좌표로 두고, 질점의 속도를 극좌표 형태로 표현해 운동에너지를 세울 수 있는지를 본다. 또한 두 용수철의 평형점이 \(O\)라는 조건을 이용해 퍼텐셜을 \(r\)의 이차형으로 정리하고, 라그랑주 방정식으로 \(r\)의 운동방정식을 유도하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
관은 \(z\)축을 중심으로 회전하며, 질점은 관을 따라 회전축에서 거리 \(r\)만큼 떨어진 위치에 있다. 관의 방향각(회전각)을 \(\theta\)라 두면, 질점의 평면(수평면)에서의 위치는 극좌표 \((r,\theta)\)로 표현된다.
따라서 질점의 속력 제곱은 극좌표 운동학으로
$$ v^2=\dot r^{\,2}+r^2\dot\theta^{\,2} $$
이고, 운동에너지는
$$ T(r,\dot r,\dot\theta)=\frac12 m\left(\dot r^{\,2}+r^2\dot\theta^{\,2}\right) $$
이다.
다음으로 퍼텐셜 에너지를 구한다. \(O\)는 두 용수철 힘의 평형 위치이므로 \(r=0\)에서 순수한 선형항(일차항)은 존재하지 않으며, 질점이 관을 따라 \(r\)만큼 변위되면 한쪽 용수철은 \(r\)만큼 늘어나고 다른 쪽 용수철은 \(r\)만큼 줄어든다. 에너지(탄성 퍼텐셜)는 변형량의 제곱에 비례하므로 두 용수철의 퍼텐셜은 합쳐져
$$ V(r)=\frac12 k_1 r^2+\frac12 k_2 r^2=\frac12 (k_1+k_2)r^2 $$
가 된다.
따라서 라그랑지안은
$$ L(r,\dot r,\theta,\dot\theta)=T-V =\frac12 m\left(\dot r^{\,2}+r^2\dot\theta^{\,2}\right)-\frac12 (k_1+k_2)r^2 $$
이다.
이제 \(r\)에 대한 오일러-라그랑주 방정식
$$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot r}\right)-\frac{\partial L}{\partial r}=0 $$
을 적용한다. \(\dfrac{\partial L}{\partial \dot r}=m\dot r\)이므로 \(\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot r}\right)=m\ddot r\)이고,
$$ \frac{\partial L}{\partial r}=m r\dot\theta^{\,2}-(k_1+k_2)r $$
이므로 운동방정식은
$$ m\ddot r-\Big(m r\dot\theta^{\,2}-(k_1+k_2)r\Big)=0 $$
즉
$$ m\ddot r-mr\dot\theta^{\,2}+(k_1+k_2)r=0 $$
이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>