정답
자기선속은 \(\displaystyle \Phi(y)=-B_0\left(by+\frac{b^2}{2}\right)\), 유도기전력의 크기는 \(\displaystyle \varepsilon=B_0bv\)이다. 등속운동일 때 중력이 한 일률은 \(\displaystyle P=\frac{m^2g^2R}{B_0^2b^2}\)이다.
출제 의도
위치에 따라 달라지는 자기장 속을 움직이는 도선 고리에서 자기선속을 면적분으로 구하고, 패러데이 법칙으로 유도기전력을 계산하는 능력을 평가한다. 또한 등속 조건에서 중력이 공급하는 기계적 에너지가 저항에서의 줄열로 소모됨을 이용해 일률을 구할 수 있는지를 본다.
풀이 과정
고리는 \(xy\)평면에 놓여 있고, 면의 법선 방향을 \(+\hat z\)로 잡는다. 자기장은 \(\vec B(y)=-(B_0y/a)\hat z\)이며, 고리의 밑변이 \(y(t)=y\), 윗변이 \(y+b\)에 있다. 폭은 \(x\)방향으로 \(a\)이므로 \(x\in[0,a]\), \(y’\in[y,y+b]\)에서 면적분을 한다.
$$ \Phi(y)=\iint \vec B\cdot d\vec A =\int_{0}^{a}\int_{y}^{y+b}\left(-\frac{B_0}{a}y’\right)\,dy’\,dx. $$
$$ \Phi(y)=\int_{0}^{a}dx\left(-\frac{B_0}{a}\cdot\frac{(y+b)^2-y^2}{2}\right) =-B_0\left(by+\frac{b^2}{2}\right). $$
고리는 \(-y\)방향으로 속력 \(v\)로 내려가므로 \(dy/dt=-v\)이다. 유도기전력의 크기는 패러데이 법칙 \(\varepsilon=\left|-\dfrac{d\Phi}{dt}\right|\)로부터 구한다.
$$ \frac{d\Phi}{dy}=-B_0b,\qquad \frac{d\Phi}{dt}=\frac{d\Phi}{dy}\frac{dy}{dt}=(-B_0b)(-v)=B_0bv. $$
$$ \varepsilon=\left|-\frac{d\Phi}{dt}\right|=B_0bv. $$
따라서 전류의 크기는 \(I=\varepsilon/R=B_0bv/R\)이고, 저항에서의 줄열 소모 전력은
$$ P_R=I^2R=\frac{\varepsilon^2}{R}=\frac{B_0^2b^2v^2}{R}. $$
등속운동이므로 운동에너지 변화가 없고(자체유도 무시), 중력이 공급하는 기계적 일률 \(P\)는 줄열 소모 전력과 같다. 중력의 일률은 \(P=mgv\)이므로
$$ mgv=\frac{B_0^2b^2v^2}{R} \quad\Rightarrow\quad v=\frac{mgR}{B_0^2b^2}. $$
따라서 중력이 한 일률은
$$ P=mgv=\frac{m^2g^2R}{B_0^2b^2}. $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>