정답
점 \(P\)에서의 접평면은 \(y+z=2\sqrt{2}\) 이고, 가우스곡률은 \(K=-\dfrac14\), 평균곡률은 \(H=0\) 이다.
출제 의도
주어진 매개화된 곡면에서 특정 점의 접평면 방정식을 구하고, 제1·제2 기본형 계수들을 이용하여 가우스곡률과 평균곡률을 계산하는 능력을 평가하는 문제이다. 벡터 미적분, 곡면의 기본형, 곡률 공식에 대한 이해를 요구한다.
풀이 과정
곡면은
$$ X(u,v) = (1+2u,\; 2\cosh u \cos v,\; 2\cosh u \sin v) $$
로 주어져 있다. 먼저 \(u=0,\; v=\dfrac{\pi}{4}\) 일 때 점 \(P\)의 좌표를 구한다.
$$ P = X\!\left(0,\frac{\pi}{4}\right) = \bigl(1,\; 2\cdot 1\cdot \cos \tfrac{\pi}{4},\; 2\cdot 1\cdot \sin \tfrac{\pi}{4}\bigr) = (1,\sqrt{2},\sqrt{2}) $$
접평면을 위해 편도함수 \(X_u, X_v\) 를 구한다.
$$ X_u = (2,\; 2\sinh u \cos v,\; 2\sinh u \sin v), \qquad X_v = (0,\; -2\cosh u \sin v,\; 2\cosh u \cos v) $$
점 \(P\)에서의 값은 \(u=0,\ v=\frac{\pi}{4}\) 을 대입하여
$$ X_u(0,\tfrac{\pi}{4}) = (2,0,0), \qquad X_v(0,\tfrac{\pi}{4}) = (0,-\sqrt{2},\sqrt{2}) $$
이다. 따라서 법선벡터는
$$ N = X_u \times X_v\Big|_{(0,\pi/4)} = (2,0,0)\times (0,-\sqrt{2},\sqrt{2}) = (0,-2\sqrt{2},-2\sqrt{2}) $$
이므로, 같은 방향의 단순한 법선벡터로 \(n=(0,1,1)\) 을 사용할 수 있다. 점 \(P=(1,\sqrt{2},\sqrt{2})\) 에서의 접평면 방정식은
$$ \langle n,(x,y,z)-P\rangle = 0 \quad\Rightarrow\quad 0(x-1) + 1(y-\sqrt{2}) + 1(z-\sqrt{2}) = 0 $$
이므로
$$ y+z = 2\sqrt{2} $$
가 된다.
다음으로 가우스곡률과 평균곡률을 구하기 위해 제1 기본형 계수 \(E,F,G\) 와 제2 기본형 계수 \(e,f,g\) 를 계산한다. 먼저 일반적인 \(u,v\) 에 대해
$$ E = \langle X_u,X_u\rangle, \quad F = \langle X_u,X_v\rangle, \quad G = \langle X_v,X_v\rangle $$
을 구하면
$$ E = 4 + 4\sinh^2 u(\cos^2 v+\sin^2 v) = 4(1+\sinh^2 u) = 4\cosh^2 u, $$
$$ G = 4\cosh^2 u(\sin^2 v+\cos^2 v) = 4\cosh^2 u, $$
$$ F = 0 $$
이 된다. 따라서 점 \(P\)가 속한 \(u=0\) 에서
$$ E=G=4,\qquad F=0 $$
이다.
이제 단위법선을 구하자. 앞에서 구한 일반적인 법선벡터는
$$ X_u\times X_v = 4\cosh u\,( \sinh u,\; -\cos v,\; -\sin v ) $$
이고 그 길이는 \(|X_u\times X_v| = 4\cosh^2 u\) 이므로 단위법선벡터는
$$ \mathbf{n} = \bigl(\tanh u,\; -\tfrac{\cos v}{\cosh u},\; -\tfrac{\sin v}{\cosh u}\bigr) $$
이다. 이제 두 번째 편도함수들을 구한다.
$$ X_{uu} = (0,\; 2\cosh u \cos v,\; 2\cosh u \sin v), $$
$$ X_{uv} = (0,\; -2\sinh u \sin v,\; 2\sinh u \cos v), $$
$$ X_{vv} = (0,\; -2\cosh u \cos v,\; -2\cosh u \sin v) $$
제2 기본형 계수
$$ e = \langle X_{uu},\mathbf{n}\rangle,\quad f = \langle X_{uv},\mathbf{n}\rangle,\quad g = \langle X_{vv},\mathbf{n}\rangle $$
을 계산하면
$$ e = -2,\qquad f=0,\qquad g=2 $$
가 됨을 쉽게 확인할 수 있고, 이는 \(u,v\) 에 무관하다. 따라서 점 \(P\) 에서도 동일하게
$$ e=-2,\quad f=0,\quad g=2 $$
이다.
이제 가우스곡률과 평균곡률을 공식
$$ K = \frac{eg-f^2}{EG-F^2},\qquad H = \frac{Eg+Ge-2Ff}{2(EG-F^2)} $$
에 대입한다. 우리 경우 \(E=G=4,\ F=f=0,\ e=-2,\ g=2\) 이므로
$$ K = \frac{(-2)\cdot 2 – 0}{4\cdot 4 – 0} = \frac{-4}{16} = -\frac14, $$
$$ H = \frac{4\cdot 2 + 4\cdot(-2) – 0}{2\cdot 4\cdot 4} = \frac{8-8}{32} = 0 $$
을 얻는다. 따라서 점 \(P\)에서 곡면의 가우스곡률은 \(-\dfrac14\), 평균곡률은 \(0\) 이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>