정답
곡선의 길이는 \(8\), 전곡률(방향이 반시계이므로 부호 있는 전곡률)은 \(2\pi\)이다.
출제 의도
극좌표 곡선의 호의 길이 공식을 정확히 적용할 수 있는지, 그리고 평면 폐곡선의 전곡률을 ‘접선방향각의 총변화량’으로 해석해 방향(반시계/시계)에 따라 값을 결정할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
주어진 극방정식은 \(r=1-\cos(\theta-\pi/3)\) 이다. 편의를 위해 \(u=\theta-\pi/3\)로 두면 \(r=1-\cos u\), 그리고 \(dr/d\theta=dr/du=\sin u\) 이다.
극좌표에서 호의 길이는
$$ L=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta $$
이므로, 내부를 정리하면
$$ r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2=(1-\cos u)^2+\sin^2u =1-2\cos u+\cos^2u+\sin^2u =2-2\cos u =4\sin^2\frac{u}{2}. $$
따라서
$$ \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}=2\left|\sin\frac{u}{2}\right|. $$
\(\theta:0\to 2\pi\)일 때 \(u=\theta-\pi/3\)는 \(-\pi/3\to 5\pi/3\)로 변하고 \(du=d\theta\)이므로
$$ L=\int_{-\pi/3}^{5\pi/3}2\left|\sin\frac{u}{2}\right|\,du. $$
여기서 \(u/2\in[-\pi/6,\,5\pi/6]\)이므로 \(\sin(u/2)\)는 구간 \([-\pi/3,0]\)에서는 음수, \([0,5\pi/3]\)에서는 양수이다. 따라서 절댓값을 나누어 적분하면
$$ \begin{aligned} L &=2\left(\int_{-\pi/3}^{0}\left(-\sin\frac{u}{2}\right)du+\int_{0}^{5\pi/3}\sin\frac{u}{2}\,du\right) \\ &=2\left(\left[2\cos\frac{u}{2}\right]_{-\pi/3}^{0}+\left[-2\cos\frac{u}{2}\right]_{0}^{5\pi/3}\right) \\ &=2\left(\,2-2\cos\frac{\pi}{6}\;+\;-2\cos\frac{5\pi}{6}+2\,\right) \\ &=2\left(\,2-\sqrt3\;+\;\sqrt3+2\,\right)=8. \end{aligned} $$
이제 전곡률을 구한다. 전곡률(부호 있는 전곡률)은 곡선을 따라 접선방향각이 변한 총량과 같으며, 반시계방향으로 한 번 도는 단순 폐곡선의 경우(첨점이 있어도 전체적으로 한 번 감기면) 접선방향각의 총변화량은 \(2\pi\)가 된다. 문제에서 곡선의 방향이 반시계방향이라고 했으므로 전곡률은 \(2\pi\)이다.
$$ \text{Total curvature}=\int \kappa\,ds=2\pi. $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>