정답
군파의 군속도는 \(v_g = \dfrac{\Delta \omega}{\Delta k} = \dfrac{\Delta x_{\text{군}}}{30}\,\text{m/s}\), 두 해파의 평균 파속은 \(v_p = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{\Delta x_{\text{위상}}}{30}\,\text{m/s}\) 이다. 수심 \(h\)는 \(v_p^2 = g h\) (천해파 가정)로부터 \(h = \dfrac{v_p^2}{g}\) 이며, 해저면에서 물 입자는 진행 방향을 따라 좌우로 왕복하는, 수평으로 긴 타원(거의 직선)에 가까운 궤적을 그린다.
출제 의도
두 해파의 중첩으로 생기는 군파를 수식과 그래프로 이해하고, 군속도와 파속의 정의를 적용할 수 있는지를 묻는 문제이다. 또한 중력파의 분산 관계와 천해파 파속 공식을 이용해 수심을 구하고, 심해파·천해파에서 해저 근처 물 입자의 운동 형태를 구분할 수 있는지 평가한다.
풀이 과정
먼저 주어진 합성파 식
$$ \eta(x,t) = 2a\cos\!\left(\frac{\Delta k\,x – \Delta\omega\,t}{2}\right)\cos(kx-\omega t) $$
를 군(envelope)과 진동(carrier)의 곱으로 해석한다. 앞의 \(\cos\left(\dfrac{\Delta k\,x – \Delta\omega\,t}{2}\right)\)가 군의 변조를, 뒤의 \(\cos(kx-\omega t)\)가 개별 해파의 진동을 나타낸다.
군의 위상 \(\phi_g = \dfrac{\Delta k\,x – \Delta\omega\,t}{2}\)가 일정한 위치를 따라가는 속도가 군속도이다. \(\phi_g = \text{상수}\)를 미분하면
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\Delta k\,x – \Delta\omega\,t}{2}\right)=0 \quad\Rightarrow\quad \Delta k\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}-\Delta\omega=0 $$
이므로
$$ v_g = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{\Delta\omega}{\Delta k} $$
가 된다. 그래프에서는 30 s 동안 특정 군의 중심(가장 큰 진폭이 나타나는 위치)이 \(\Delta x_{\text{군}}\)만큼 이동하므로
$$ v_g = \frac{\Delta x_{\text{군}}}{30\ \text{s}} \ (\text{단위: m/s}) $$
로 수치를 계산한다.
다음으로 캐리어 파동 \(\cos(kx-\omega t)\)의 위상 \(\phi_p = kx – \omega t\)를 생각한다. \(\phi_p=\text{상수}\)를 따라가는 속도가 개별 해파의 위상 속도(평균 파속)이다.
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(kx-\omega t)=0 \quad\Rightarrow\quad k\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}-\omega=0 \quad\Rightarrow\quad v_p = \frac{\omega}{k} $$
그래프에서 같은 첨두(산마루) 하나가 30 s 동안 이동한 거리 \(\Delta x_{\text{위상}}\)을 읽으면
$$ v_p = \frac{\Delta x_{\text{위상}}}{30\ \text{s}} \ (\text{단위: m/s}) $$
로 수치를 구할 수 있다.
이제 수심을 구한다. 문제 상황은 해안 근처의 긴 파장 해파로, 교과서에서 천해파(수심이 파장의 \(\tfrac1{20}\)보다 얕은 파)로 다루는 전형적인 상황이다. 천해파의 중력파는 분산이 거의 없으며, 파속과 수심의 관계가
$$ v_p = \sqrt{g h} $$
로 주어진다. 따라서 앞에서 그래프를 통해 구한 \(v_p\)를 이용하면
$$ h = \frac{v_p^2}{g} $$
로 이 해역의 수심 \(h\)를 \(m\) 단위로 계산할 수 있다.
마지막으로 해저면에서 물 입자의 운동 궤적을 생각한다. 중력 해파에서 물 입자의 운동은 수심에 따라 다음과 같이 달라진다.
- 심해파(수심이 파장의 \(\tfrac12\)보다 깊음): 표면에서는 거의 원형 궤도, 깊이로 내려갈수록 진폭이 급격히 감소해 해저에서는 거의 정지.
- 천해파(수심이 파장의 \(\tfrac1{20}\)보다 얕음): 수심 전체에 걸쳐 입자의 운동이 거의 수평 직선 왕복 운동에 가까움.
- 전이파: 원운동과 직선 운동 사이의 타원 궤도.
이 문제는 천해파 조건을 전제하여 수심을 구했으므로, 해저면에서도 입자의 수직 성분은 매우 작고 수평 성분이 우세하다. 따라서 해저면의 물 입자는 파의 진행 방향을 따라 좌우로 왕복하는 수평으로 긴 타원 궤도, 즉 거의 수평 직선에 가까운 궤적을 그리게 된다.