정답
㉠ 용승, ㉡ 침강, 동서 바람 응력 \(\tau_x\)에 의한 질량 수송은 \(M_y=-\dfrac{L_x\tau_x}{f}\), A 구간 질량 수송량은 \(4.0\times10^8\ \mathrm{kg\,s^{-1}}\) (남쪽)이다.
출제 의도
바람 응력의 공간 분포로부터 에크만 수송의 수렴·발산을 해석해 용승/침강을 판단하고, 에크만 층 운동 방정식을 연직 적분하여 바람 응력으로부터 질량 수송량을 식으로 유도한 뒤 주어진 수치로 실제 수송량을 계산하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
에크만 수송은 바람 응력의 수평 분포에 의해 수렴 또는 발산하며, 수렴이면 표층수가 모여 연직 아래로 내려가 침강이, 발산이면 표층수가 벌어져 아래에서 보충되며 용승이 나타난다. 그림에서 ㉠ 해역은 주변보다 표층 수송이 발산하는 유형(에크만 발산)에 해당하므로 용승, ㉡ 해역은 표층 수송이 수렴(에크만 수렴)하므로 침강이다.
다음으로 <자료>의 운동 방정식을 에크만층 깊이 \(-D\)부터 해수면 \(0\)까지 연직 적분한다. 에크만층 하단에서는 응력이 0이라 두고(즉 \(\tau_x(-D)=\tau_y(-D)=0\)), 해수면에서의 바람 응력을 \(\tau_x, \tau_y\)로 둔다.
$$ \frac{1}{\rho}\int_{-D}^{0}\frac{\partial\tau_x}{\partial z}\,dz=-f\int_{-D}^{0}v\,dz \;\Rightarrow\; \frac{\tau_x}{\rho}=-f\int_{-D}^{0}v\,dz \;\Rightarrow\; \int_{-D}^{0}v\,dz=-\frac{\tau_x}{\rho f} $$
$$ \frac{1}{\rho}\int_{-D}^{0}\frac{\partial\tau_y}{\partial z}\,dz=f\int_{-D}^{0}u\,dz \;\Rightarrow\; \frac{\tau_y}{\rho}=f\int_{-D}^{0}u\,dz \;\Rightarrow\; \int_{-D}^{0}u\,dz=\frac{\tau_y}{\rho f} $$
질량 수송량 정의 \(M_x=L_y\int_{-D}^{0}\rho u\,dz\), \(M_y=L_x\int_{-D}^{0}\rho v\,dz\)에 대입하면 바람 응력을 포함한 식은 다음과 같다.
$$ M_x=L_y\int_{-D}^{0}\rho u\,dz =L_y\frac{\tau_y}{f}, \qquad M_y=L_x\int_{-D}^{0}\rho v\,dz =-L_x\frac{\tau_x}{f} $$
특히 바람 응력이 동서 방향(동쪽)이라면 \(\tau_x>0,\ \tau_y=0\)이므로 \(M_x=0\), \(M_y=-\dfrac{L_x\tau_x}{f}\)만 남는다(방향은 \(f\)의 부호에 따라 결정된다).
이제 A 구간에서 수평 폭이 \(L_x=1000\ \mathrm{km}=1.0\times10^6\ \mathrm{m}\), 바람 응력은 서쪽이므로 \(\tau_x=-0.03\ \mathrm{N\,m^{-2}}\), 남반구이므로 \(f=-7.5\times10^{-5}\ \mathrm{s^{-1}}\)로 둔다.
$$ M_y=-\frac{L_x\tau_x}{f} =-\frac{(1.0\times10^6)(-0.03)}{-7.5\times10^{-5}} =-4.0\times10^8\ \mathrm{kg\,s^{-1}} $$
음수는 \(y\)축(북쪽)을 양(+)으로 둘 때 남쪽(음의 \(y\)) 방향임을 뜻하므로, A 구간의 에크만 질량 수송은 크기 \(4.0\times10^8\ \mathrm{kg\,s^{-1}}\)이며 남쪽 방향이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>