정답
수소 개수 밀도 \(=1.0\times 10^{7}\ \text{cm}^{-3}\), 별 표면 평균 자기장 \( \approx 9.6\times 10^{2}\ \text{T}\), 최단 시간(자유낙하 시간) \(t_{\mathrm{ff}}=\sqrt{\dfrac{3\pi}{32G\rho_0}}\)이며 \(t_{\mathrm{ff}}\propto \rho_0^{-1/2}\)이다.
출제 의도
성운의 평균 밀도를 반지름 변화에 따른 부피 변화로부터 스케일링하여 수소 개수 밀도를 구하고, 자기장 세기는 자기선속 보존(면적 변화)에 따른 스케일링으로 추정하며, 중력만 고려한 수축의 최소 시간인 자유낙하 시간식을 쓰고 밀도와 시간의 정성적 관계를 설명하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
성운이 수소로만 이루어졌고 질량이 동일할 때, 수소 개수 밀도 \(n\)은 평균 질량 밀도에 비례하므로 \(n\propto \dfrac{M}{R^3}\)로 볼 수 있다. 문제에서 \(M\)은 두 경우 모두 \(1M_\odot\)로 같으므로 \(n\propto R^{-3}\)만 이용하면 된다.
$$ n_2=n_1\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 $$
$$ n_2=10^{4}\left(\frac{0.1\ \text{pc}}{0.01\ \text{pc}}\right)^3 =10^{4}\times 10^{3}=10^{7}\ \text{cm}^{-3} $$
다음으로, 압력과 온도 효과를 무시하고 성운이 수축할 때 자기선속이 보존된다고 보면(이상적으로 ‘얼어붙은 자기장’), 표면을 지나는 자기선속 \(\Phi \sim BA\)가 일정이어서 \(B\propto A^{-1}\propto R^{-2}\)가 된다.
$$ B_\star = B_{\text{cloud}}\left(\frac{R_{\text{cloud}}}{R_\star}\right)^2 $$
반지름을 자료의 단위로 계산하면 \(R_{\text{cloud}}=0.01\,\text{pc}=0.01\times 3.1\times 10^{18}\,\text{cm}=3.1\times 10^{16}\,\text{cm}\), \(R_\star=R_\odot=7.0\times 10^{10}\,\text{cm}\)이다.
$$ \frac{R_{\text{cloud}}}{R_\star}=\frac{3.1\times 10^{16}}{7.0\times 10^{10}} \approx 4.43\times 10^{5} $$
$$ B_\star = 4.9\times 10^{-9}\,\text{T}\times (4.43\times 10^{5})^2 \approx 4.9\times 10^{-9}\times 1.96\times 10^{11} \approx 9.6\times 10^{2}\,\text{T} $$
마지막으로, 중력만 고려할 때 성운이 스스로 붕괴하는 데 필요한 최소 시간은 자유낙하 시간이며, 초기 평균 밀도를 \(\rho_0\)라 하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$ t_{\mathrm{ff}}=\sqrt{\frac{3\pi}{32G\rho_0}} $$
이 식에서 \(t_{\mathrm{ff}}\)는 \(\rho_0\)의 제곱근에 반비례하므로, 성운의 초기 밀도가 클수록(더 조밀할수록) 중력 붕괴는 더 빠르게 진행되어 필요한 최단 시간은 더 짧아진다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>