정답
\([ \mathrm{Pb^{2+}} ]=1.2\times 10^{-3}\ \mathrm{M}\), \(\ [\mathrm{SO_4^{2-}}]+[\mathrm{HSO_4^-}]=[\mathrm{Pb^{2+}}]\), \(\displaystyle K_{sp}=7.2\times 10^{-7}\)이다.
출제 의도
고정 곡선식으로부터 시료의 Pb2+ 농도를 계산하고, pH가 낮을 때 황산 이온이 HSO4-로 부분 전환되는 평형을 고려하여 (총 황산종의 질량 보존)과 해리평형을 결합해 [SO4^2-]를 구한 뒤 Ksp를 계산하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
고정 곡선식이 “신호 세기 = 1000(mV/M)×[Pb2+] + 0.1(mV)”이고, 측정 신호가 1.3 mV이므로 이를 대입해 [Pb2+]를 구한다.
$$ 1.3=1000\,[\mathrm{Pb^{2+}}]+0.1 \quad\Rightarrow\quad [\mathrm{Pb^{2+}}]=\frac{1.3-0.1}{1000}=1.2\times 10^{-3}\ \mathrm{M} $$
(다)에서 PbSO4(s)는 완전히 제거되었으므로, 용액 속 용존 황산 종은 PbSO4의 용해로부터만 공급된다. 따라서 황산 종에 대한 질량(물질수) 균형은 “총 황산 종 = 총 납(II)”가 된다.
$$ [\mathrm{SO_4^{2-}}]+[\mathrm{HSO_4^-}]=[\mathrm{Pb^{2+}}] $$
또한 주어진 해리 평형은
$$ \mathrm{HSO_4^-}\rightleftharpoons \mathrm{H^+}+\mathrm{SO_4^{2-}},\qquad K_a=\frac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{SO_4^{2-}}]}{[\mathrm{HSO_4^-}]}=1.0\times 10^{-2} $$
이며 pH = 2.0이므로
$$ [\mathrm{H^+}]=10^{-2}\ \mathrm{M}. $$
따라서
$$ \frac{[\mathrm{SO_4^{2-}}]}{[\mathrm{HSO_4^-}]} =\frac{K_a}{[\mathrm{H^+}]} =\frac{10^{-2}}{10^{-2}}=1 \quad\Rightarrow\quad [\mathrm{SO_4^{2-}}]=[\mathrm{HSO_4^-}]. $$
이를 질량 균형식과 합치면
$$ 2[\mathrm{SO_4^{2-}}]=[\mathrm{Pb^{2+}}]=1.2\times 10^{-3} \quad\Rightarrow\quad [\mathrm{SO_4^{2-}}]=6.0\times 10^{-4}\ \mathrm{M}. $$
이제 용해도곱은
$$ \mathrm{PbSO_4(s)}\rightleftharpoons \mathrm{Pb^{2+}}+\mathrm{SO_4^{2-}}, \qquad K_{sp}=[\mathrm{Pb^{2+}}][\mathrm{SO_4^{2-}}] $$
이므로
$$ K_{sp}=(1.2\times 10^{-3})(6.0\times 10^{-4}) =7.2\times 10^{-7}. $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>