정답
\(\displaystyle \int_{C(2)}\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = 6\pi i\)
\(\displaystyle \int_{C(r)}\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = 0\) 을 만족시키는 양의 정수 \(r\) 의 개수는 \(5\)개이다.
출제 의도
복소함수의 로그 미분 \(f’/f\) 의 성질을 이용하여, 닫힌 곡선 안에 포함되는 영점과 극점의 개수(중복도 포함)를 세어 적분값을 구하게 하는 문제이다. 또한 원의 반지름을 변화시키며 포함되는 영점과 극점의 개수가 어떻게 달라지는지 분석하여, 적분값이 0이 되는 경우를 찾는 능력을 평가한다.
풀이 과정
주어진 함수는
$$ f(z)=\frac{(z-i+1)^5(z+1+i)^4}{z^6(z-1+4i)^3(z-9+2i)^5}e^z $$
이다. \(e^z\)는 전체 평면에서 해석적이며 영점도 극점도 없으므로, \(f(z)\)의 영점과 극점은 유리함수 부분에서만 생긴다.
각 영점과 극점은 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} &\text{영점:} &&z=i-1\quad(\text{차수 }5), \quad z=-1-i\quad(\text{차수 }4) \\ &\text{극점:} &&z=0\quad(\text{차수 }6),\quad z=1-4i\quad(\text{차수 }3),\quad z=9-2i\quad(\text{차수 }5) \end{aligned} \]
여기서 각 점의 원점으로부터의 거리는
\[ |i-1|=|{-1-i}|=\sqrt2,\quad |1-4i|=\sqrt{17},\quad |9-2i|=\sqrt{85} \]
이다.
로그 미분에 대한 일반 사실을 사용한다. \(f(z)\)가 원 \(C\) 안과 위에서 해석적이고, 영점과 극점만 유한 개 있을 때
$$ \int_C \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz =2\pi i\left(N-P\right) $$
여기서 \(N\)은 곡선 내부의 영점 개수(중복도 포함), \(P\)는 곡선 내부의 극점 개수(중복도 포함)이다.
먼저 \(C(2)\)를 보자. 반지름 2의 원 안에는
- 영점 \(z=i-1\) (차수 5), \(z=-1-i\) (차수 4)
- 극점 \(z=0\) (차수 6)
만 들어 있고, 다른 극점들은 반지름이 더 크므로 포함되지 않는다.
따라서
$$ N = 5+4 = 9,\qquad P = 6 $$
이고,
$$ \int_{C(2)}\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz =2\pi i(N-P)=2\pi i(9-6)=6\pi i $$
가 된다.
다음으로 일반적인 반지름 \(r\)에 대해 어떤 영점·극점이 포함되는지 살펴보자. 반지름이 커짐에 따라 포함되는 점들의 변화는
- \(0
- \(\sqrt2
- \(\sqrt{17}
- \(r>\sqrt{85}\) : 모든 영점·극점 포함 ⇒ \(N=9,\ P=6+3+5=14\).
- \(\sqrt2
따라서 각 구간에서 적분값은
\[ \int_{C(r)}\frac{f’}{f}\,dz =2\pi i(N-P) = \begin{cases} 2\pi i(0-6) & 0
적분값이 0이 되려면 \(N=P\)이어야 하므로 \(\sqrt{17} \(\sqrt{17}\approx 4.12\), \(\sqrt{85}\approx 9.22\)이므로 이 구간에 속하는 양의 정수 \(r\)은 $$ r=5,6,7,8,9 $$ 이고, 개수는 \(5\)개이다. <풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>