정답
(가)에서 A에 연결된 실의 장력은 \(T=5Sdg(\rho_A-\rho_1)\)이고, \(B1\)의 높이는 \(h_{B1}= \dfrac{5d(\rho_A-\rho_1)}{\rho_B-\rho_1}\)이다. 또한 (나)에서 \(\rho_B=3\rho_1-2\rho_2\)이다.
출제 의도
부력(아르키메데스 원리)과 정지 평형에서의 힘의 평형을 적용해, 한 줄에 매달린 두 물체의 장력 관계를 세우고 두 상황(단일 유체/층상 유체)을 비교하여 미지의 밀도 및 길이(높이)를 구하는 문제이다.
풀이 과정
(가)에서 두 물체는 같은 실에 연결되어 정지해 있으므로, 실의 장력 \(T\)는 양쪽에 동일하게 작용한다. 각 물체에 대해 “위쪽 힘(장력+부력) = 아래쪽 힘(무게)”의 평형식을 세운다.
먼저 (가)에서 물체 A는 밀도 \(\rho_1\)인 유체에 완전히 잠겨 있고, 단면적이 \(S\), 높이가 \(5d\)이므로 부피는 \(S\cdot 5d\)이다. 따라서
$$ T+\rho_1 g(S\cdot 5d)=\rho_A g(S\cdot 5d) $$
이로부터 (가)에서 A에 연결된 실의 장력은
$$ T=5Sdg(\rho_A-\rho_1) $$
이제 (가)에서 물체 \(B1\)의 높이를 \(h_{B1}\)라 두면, \(B1\)도 같은 유체 \(\rho_1\)에 잠겨 있으므로
$$ T+\rho_1 g(Sh_{B1})=\rho_B g(Sh_{B1}) $$
따라서
$$ T=Sh_{B1}g(\rho_B-\rho_1) $$
같은 실이므로 두 식의 \(T\)를 같게 두면
$$ 5Sdg(\rho_A-\rho_1)=Sh_{B1}g(\rho_B-\rho_1) $$
정리하여 (가)에서 \(B1\)의 높이는
$$ h_{B1}= \frac{5d(\rho_A-\rho_1)}{\rho_B-\rho_1} $$
(나)에서는 위쪽 유체의 밀도가 \(\rho_2\), 아래쪽 유체의 밀도가 \(\rho_1(\rho_1>\rho_2)\)이고, A의 윗부분 \(2d\)가 \(\rho_2\) 유체에, 나머지 \(3d\)가 \(\rho_1\) 유체에 잠겨 있다. 따라서 A가 받는 총부력은 두 층에서 밀도만큼 나누어 더하면 된다.
$$ B_A=\rho_2 g(S\cdot 2d)+\rho_1 g(S\cdot 3d) $$
(나)에서 A의 평형은
$$ T+\{\rho_2 g(S\cdot 2d)+\rho_1 g(S\cdot 3d)\}=\rho_A g(S\cdot 5d) $$
따라서 (나)에서의 장력은
$$ T=Sdg(5\rho_A-2\rho_2-3\rho_1) $$
(나)에서 \(B2\)의 높이를 \(h_{B2}\)라 하면 \(B2\)는 \(\rho_1\) 유체에 잠겨 있으므로
$$ T=Sh_{B2}g(\rho_B-\rho_1) $$
문제에서 \(B1\)과 \(B2\)의 높이차가 \(d\)이므로 \(h_{B2}=h_{B1}+d\)로 두고, (가)에서 구한 \(T=Sh_{B1}g(\rho_B-\rho_1)\) 및 \(h_{B1}=\dfrac{5d(\rho_A-\rho_1)}{\rho_B-\rho_1}\)를 이용하면
$$ Sh_{B2}g(\rho_B-\rho_1)=Sdg(5\rho_A-2\rho_2-3\rho_1) $$
$$ (h_{B1}+d)(\rho_B-\rho_1)=d(5\rho_A-2\rho_2-3\rho_1) $$
$$ \left(\frac{5d(\rho_A-\rho_1)}{\rho_B-\rho_1}+d\right)(\rho_B-\rho_1)=d(5\rho_A-2\rho_2-3\rho_1) $$
양변을 전개하면
$$ 5d(\rho_A-\rho_1)+d(\rho_B-\rho_1)=d(5\rho_A-2\rho_2-3\rho_1) $$
\(d\)를 약분하고 정리하면
$$ 5(\rho_A-\rho_1)+(\rho_B-\rho_1)=5\rho_A-2\rho_2-3\rho_1 $$
$$ \rho_B-\rho_1=2(\rho_1-\rho_2) $$
따라서
$$ \rho_B=3\rho_1-2\rho_2 $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>