정답
\(\beta-\alpha = 2\sqrt{5}\), 전자 운동 에너지 \(T_K \ge 0\) 를 만족하는 범위에서 \(x\) 의 최댓값은 \(x_{\max}=8\) 이다.
출제 의도
수소 원자에서 주어진 고유함수로부터 방사방향 분포 함수를 만들고, 그 극댓값을 미분으로 구하는 법을 묻는다. 또 퍼텐셜 에너지와 고유에너지의 관계 \(E=T_K+V\) 를 이용하여 고전적으로 허용되는 영역(운동 에너지 \(T_K \ge 0\))의 경계, 즉 전자의 전환점에서의 \(x\) 값을 찾는 것이 목적이다.
풀이 과정
주어진 고유함수는
$$ \psi(x)=B(2-x)e^{-x/2}\qquad (x=\tfrac{r}{a_0}) $$
이고, 방사방향 분포 함수는
$$ P(x)=4\pi a_0^2 x^2|\psi(x)|^2 =4\pi a_0^2 B^2\,x^2(2-x)^2e^{-x} $$
이다. 상수는 극값 위치에 영향을 주지 않으므로
$$ f(x)=x^2(2-x)^2e^{-x} $$
의 극값을 구하면 된다. 로그를 취해
$$ \ln f(x)=2\ln x+2\ln(2-x)-x $$
이므로 미분하여 0으로 두면
$$ \frac{d}{dx}\ln f(x)=\frac{2}{x}-\frac{2}{2-x}-1=0 $$
이다. 양변에 \(x(2-x)\) 를 곱하면
$$ 2(2-x)-2x-x(2-x)=0 $$
이 되고, 정리하면
$$ x^2-6x+4=0 $$
이므로
$$ x=\frac{6\pm\sqrt{36-16}}{2}=3\pm\sqrt{5} $$
를 얻는다. 두 극값 중 작은 값을 \(\alpha\), 큰 값을 \(\beta\) 라 하면
$$ \alpha=3-\sqrt{5},\qquad \beta=3+\sqrt{5} $$
이고, 따라서
$$ \beta-\alpha=(3+\sqrt{5})-(3-\sqrt{5})=2\sqrt{5} $$
이다.
다음으로 전자의 운동 에너지 \(T_K\) 가 0 이상이 되는 영역을 구한다. 총 에너지 \(E\) 는
$$ E=T_K+V(r) $$
이므로, 운동 에너지가 0이 되는 경계(전환점)는
$$ T_K=0 \quad\Rightarrow\quad E=V(r) $$
를 만족하는 지점이다. 주어진 퍼텐셜 에너지는
$$ V(r)=-\frac{A}{r}=-\frac{A}{a_0 x} $$
이고, 에너지 고유값은
$$ E_n=-\frac{A}{2a_0 n^2} $$
이다. 주어진 고유함수 \(\psi(x)=B(2-x)e^{-x/2}\) 는 노드가 하나인 2s 궤도에 해당하므로 주양자수는 \(n=2\) 이다.
따라서 이 상태의 에너지는
$$ E_2=-\frac{A}{2a_0\cdot 2^2}=-\frac{A}{8a_0} $$
이다. 전환점에서 \(E_2=V(r)\) 를 대입하면
$$ -\frac{A}{8a_0}=-\frac{A}{a_0 x} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{8}=\frac{1}{x} \quad\Rightarrow\quad x=8 $$
이므로, 운동 에너지 \(T_K\ge 0\) 인 허용 영역에서 \(x\) 의 최댓값은
$$ x_{\max}=8 $$
이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>