정답
\(L_z\)의 측정값이 \(\hbar\)가 될 확률은 \(\displaystyle \frac{2}{5}\)이고, 각운동량 \(z\)축 성분의 제곱의 기댓값은 \(\displaystyle \langle \hat L_z^2\rangle=\frac{4}{5}\hbar^2\)이다.
출제 의도
구면조화함수들이 각운동량 연산자의 고유함수라는 사실을 이용하여, 여러 \(m\) 상태의 선형 결합으로 주어진 파동함수에서 특정 \(L_z\) 고유값이 얻어질 확률과 \(L_z^2\)의 기댓값을 계수의 절댓값 제곱 합으로 계산할 수 있는지를 묻는 문제이다.
풀이 과정
주어진 선형 결합 파동함수는
$$ Y(\theta,\phi) = \sqrt{\frac{1}{5}}\,Y_1^{0}(\theta,\phi) – \sqrt{\frac{2}{5}}\,Y_1^{-1}(\theta,\phi) + \sqrt{\frac{2}{5}}\,Y_1^{1}(\theta,\phi) $$
이다. 구면조화함수 \(Y_l^{m_l}(\theta,\phi)\)는 각운동량 \(z\)축 성분 연산자 \(\hat L_z\)의 고유함수이며,
$$ \hat L_z Y_l^{m_l} = m_l\hbar\,Y_l^{m_l} $$
이고 서로 직교 정규화되어 있으므로, 계수가 바로 해당 \(m_l\) 상태의 확률진폭이 된다.
여기서는 모두 \(l=1\)인 상태들의 선형 결합이다. 계수들을 정리하면
$$ c_{-1} = -\sqrt{\frac{2}{5}},\quad c_0 = \sqrt{\frac{1}{5}},\quad c_1 = \sqrt{\frac{2}{5}} $$
따라서 \(L_z\)를 측정했을 때 값이 \(\hbar\) (즉 \(m=1\))가 될 확률은
$$ P(L_z=\hbar) = |c_1|^2 = \frac{2}{5} $$
이다.
이제 \(L_z^2\)의 기댓값을 구한다. 각 상태는 \(\hat L_z^2\)의 고유값 \(m^2\hbar^2\)를 가지므로, 기댓값은
$$ \langle \hat L_z^2\rangle = \sum_{m=-1}^{1} |c_m|^2 m^2\hbar^2 $$
이다. 각 항을 계산하면
$$ |c_{-1}|^2 = \frac{2}{5},\quad |c_0|^2 = \frac{1}{5},\quad |c_1|^2 = \frac{2}{5} $$
이므로
$$ \langle \hat L_z^2\rangle = \frac{2}{5}(1^2\hbar^2) + \frac{1}{5}(0^2\hbar^2) + \frac{2}{5}(1^2\hbar^2) = \frac{4}{5}\hbar^2 $$
따라서 결과는
$$ P(L_z=\hbar)=\frac{2}{5},\qquad \langle \hat L_z^2\rangle=\frac{4}{5}\hbar^2 $$
이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>