정답
\(N=\dfrac{v}{2R}\), \quad \(P=\dfrac{v}{2R}\exp\!\left[-\dfrac{2\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}\,a\right]\)
출제 의도
알파 붕괴 모형에서 핵 내부를 운동하는 알파 입자의 충돌 빈도를 고전적으로 구하고, 주어진 단일 충돌당 터널 확률을 이용해 단위 시간당 탈출(터널링) 확률을 계산하는 문제이다. 핵반경과 속도를 이용한 충돌 빈도 계산과, 양자 터널링 확률의 결합을 이해했는지를 묻는다.
풀이 과정
알파 입자는 \(0\le r\le R\) 범위의 핵 내부에서 속력 \(v\)로 원자핵의 중심을 지나는 직선(지름 방향)으로 운동한다고 가정한다.
핵 중심에서 한쪽 표면까지의 거리는 \(R\)이므로, 알파 입자가 한 번 핵표면에 부딪힌 뒤 다시 같은 핵표면에 도달하기까지 이동해야 하는 거리는 지름 길이 \(2R\)이다.
속력이 \(v\)이므로 이 거리를 이동하는 데 걸리는 시간은
$$ \Delta t = \frac{2R}{v} $$
이다. 따라서 단위 시간당 핵표면(퍼텐셜 장벽)에 충돌하는 횟수 \(N\)은
$$ N = \frac{1}{\Delta t}=\frac{v}{2R} $$
문제에서 알파 입자가 퍼텐셜 장벽에 한 번 충돌할 때의 터널 확률이
$$ T = \exp\!\left[-\frac{2\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}\,a\right] $$
라고 주어져 있다. 그러므로 단위 시간당 터널링(핵 밖으로 탈출)할 확률 \(P\)는
$$ P = N T = \frac{v}{2R}\exp\!\left[-\frac{2\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}\,a\right] $$
이 된다.