[2026. 중등임용 물리B] 이중 슬릿 간섭무늬 변화율

정답

굴절률은 $n=\dfrac{5}{4}$ 이고, 간섭무늬 B의 첫 번째 밝은 무늬 각 $\theta$ 에 대하여 \[ \frac{d\theta}{dn}=-\frac{\tan\theta}{n} \] 이다.

이중슬릿 간섭에서 밝은 무늬·어두운 무늬의 조건을 이용하여 매질을 바꾸었을 때 간섭차수 변화로부터 굴절률을 구하게 하고, 이어서 매질의 굴절률에 따라 1차 밝은 무늬의 각도가 어떻게 변하는지 미분으로 구하는 능력을 묻는 문제이다.

슬릿 사이 거리 $a$, 슬릿에서 스크린까지 거리 $L(L\gg a)$ 일 때, 스크린 상의 각 $\phi$ 에서의 경로차는

$$ \Delta = a\sin\phi $$

이다.

파장이 $\lambda$ 인 공기 중에서

라 쓸 수 있다 $(m=0,1,2,\dots)$.

공기 중에서 점 $P$ 에서 두 번째 밝은 무늬가 관측되므로, 공기 중 파장을 $\lambda$ 라 하면

$$ \Delta = 2\lambda \qquad(\text{공기}) $$

액체 속에서는 파장이 $\lambda’=\dfrac{\lambda}{n}$ 이 되고, $P$ 에서는 세 번째 어두운 무늬가 된다. 어두운 무늬의 차수가 $m=2$ 이므로

$$ \Delta = \left(2+\frac12\right)\lambda’ = \frac52\lambda’ \qquad(\text{액체}) $$

경로차 $\Delta$ 는 기하학적으로 같으므로 두 식을 같게 두면

$$ 2\lambda = \frac52\lambda’ = \frac52\cdot\frac{\lambda}{n}. $$

양변을 $\lambda$ 로 나누어 정리하면

$$ 2 = \frac{5}{2n} \quad\Rightarrow\quad 4n = 5 \quad\Rightarrow\quad n = \frac{5}{4}. $$

이제 간섭무늬 B(액체 속)의 첫 번째 밝은 무늬가 중심선과 이루는 각을 $\theta$ 라 하자. 액체 속에서 파장은 $\lambda’=\dfrac{\lambda}{n}$ 이므로, 1차 밝은 무늬 조건은

$$ a\sin\theta = \lambda’ = \frac{\lambda}{n}. $$

상수 $a,\lambda$ 를 모아 쓰면

$$ n\sin\theta = \frac{\lambda}{a} = \text{상수}. $$

양변을 $n$ 에 대해 미분하면

$$ \frac{d}{dn}\bigl(n\sin\theta\bigr)=0 \quad\Rightarrow\quad \sin\theta + n\cos\theta\,\frac{d\theta}{dn}=0. $$

따라서

$$ \frac{d\theta}{dn} = -\frac{\sin\theta}{n\cos\theta} = -\frac{1}{n}\tan\theta. $$

즉, 굴절률 $n$ 이 커질수록 첫 번째 밝은 무늬의 각도 $\theta$ 는 $\dfrac{d\theta}{dn}=-\dfrac{\tan\theta}{n}$ 만큼 감소한다.

<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>