정답
1) \( \displaystyle \int_{C(2)} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz \) 의 값
$$6\pi i$$
2) \( \displaystyle \int_{C(r)} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = 0 \) 이 되도록 하는 양의 정수 \(r\) 의 개수
$$5$$
출제 의도
복소함수 $$ f(z)=\frac{(z+1-i)^5(z+1+i)^4}{z^6(z-1+4i)^3(z-9+2i)^5}e^z $$ 에 대하여, 곡선 (C(r):|z|=r) 에서의 선적분 $$ \oint_{C(r)}\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz $$ 을 Argument Principle $$ \oint_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = 2\pi i \,(N-P) $$ ((N): 내부의 영점 개수(중복도 포함), (P): 극점 개수(중복도 포함))을 이용해 구하도록 하는 문제이다.
풀이 과정
1. 함수 (f(z)) 의 영점과 극점
주어진 함수는 $$ f(z)=\frac{(z+1-i)^5(z+1+i)^4}{z^6(z-1+4i)^3(z-9+2i)^5}e^z $$ 이다. 여기서 (e^z) 는 전체 평면에서 해석적이고 영점이 없으므로 영점·극점에 영향을 주지 않는다.
영점
분자에서 영점을 얻는다.
- (z+1-i=0 \Rightarrow z=i-1), 차수 (5)
- (z+1+i=0 \Rightarrow z=-1-i), 차수 (4)
따라서 영점(중복도 포함) 개수는 $$N_{\text{total}} = 5+4=9.$$
극점
분모에서 극점을 얻는다.
- (z=0), 차수 (6)
- (z-1+4i=0 \Rightarrow z=1-4i), 차수 (3)
- (z-9+2i=0 \Rightarrow z=9-2i), 차수 (5)
따라서 극점(중복도 포함) 개수는 $$P_{\text{total}} = 6+3+5=14.$$
2. (C(2)) 내부의 영점과 극점 개수
각 점의 원점에서의 거리를 구하면
- (|i-1| = \sqrt{(-1)^2+1^2} = \sqrt{2} \approx 1.41)
- |-1-i| = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2} = \sqrt{2} \approx 1.41)
- |0| = 0)
- |1-4i| = \sqrt{1^2+(-4)^2} = \sqrt{17} \approx 4.12)
- |9-2i| = \sqrt{9^2+(-2)^2} = \sqrt{85} \approx 9.22)
원 (C(2):|z|=2) 의 내부에는
- 영점: (z=i-1) (차수 5), (z=-1-i) (차수 4) → 합해서 (N=9)
- 극점: (z=0) (차수 6) → (P=6)
따라서 Argument Principle 에 의해 $$ \oint_{C(2)} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = 2\pi i\,(N-P) = 2\pi i\,(9-6) = 6\pi i. $$
3. ( \displaystyle \oint_{C(r)} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = 0 ) 이 되는 (r)
일반적인 (r>0) 에 대해 (C(r)) 내부에 몇 개의 영점·극점이 포함되는지에 따라 $$ \oint_{C(r)} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = 2\pi i\,(N(r)-P(r)) $$ 이므로, 이 값이 (0) 이 되려면 $$ N(r) – P(r) = 0 $$ 이어야 한다.
구간별로 포함되는 점
반지름의 기준이 되는 값은 $$ 0,\ \sqrt{2},\ \sqrt{17},\ \sqrt{85} $$ 이다. 정수 (r) 는 이 사이의 구간들에 속하며, 각 구간에서 포함되는 영점·극점 수는 일정하다.
- (0
- 포함되는 점: (z=0) (극점, 차수 6)만
- (N(r)=0,\quad P(r)=6 \Rightarrow N(r)-P(r)=-6\neq0)
- (\sqrt{2}
- 포함되는 영점: (i-1) (5), (-1-i) (4) → (N(r)=9)
- 포함되는 극점: (0) (6) → (P(r)=6)
- (N(r)-P(r)=9-6=3\neq0)
- (\sqrt{17}
- 포함되는 영점: (i-1) (5), (-1-i) (4) → (N(r)=9)
- 포함되는 극점: (0) (6), (1-4i) (3) → (P(r)=6+3=9)
- (N(r)-P(r)=9-9=0)
- (r>\sqrt{85}) 인 경우 (예: (r\ge 10))
- 모든 영점 포함 → (N(r)=9)
- 모든 극점 포함 → (P(r)=6+3+5=14)
- (N(r)-P(r)=9-14=-5\neq 0)
양의 정수 (r) 의 개수
정수 (r) 중에서 (\sqrt{17}
양의 정수 (r) 중 $$ \oint_{C(r)} \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = 0 $$ 을 만족시키는 (r) 의 개수는 $$ 5 $$ 이다.