정답
다항식 \(f(x)=x^{4}+3x^{2}-1\in \mathbb{Z}_7[x]\) 는 기약이며, \(\alpha\) 를 그 근으로 두면 \(\mathbb{Z}_7(\alpha)\) 는 차수 \(4\) 의 체 확장이다. 따라서 \(G(\mathbb{Z}_7(\alpha)/\mathbb{Z}_7)\cong C_4\) 이고, 부분군 \(\langle\sigma^{2}\rangle\) 의 고정체 \(E\) 의 위수는 \(|E|=7^{2}=49\) 이다.
출제 의도
유한체 \(\mathbb{Z}_7\) 위에서 주어진 4차 다항식의 기약성을 선형·이차 인수의 존재 여부로 판정하는 방법을 익히고, 기약 다항식으로 생성된 유한체 확장의 차수를 이용해 갈루아 군의 크기를 파악한 뒤, 갈루아 군의 부분군과 그 고정체 사이의 대응(갈루아 이론 기본정리)을 사용하여 고정체의 차수와 원소의 개수를 구하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
먼저 \(\mathbb{Z}_7\) 위에서 \(f(x)=x^{4}+3x^{2}-1\) 이 기약임을 보인다.
\(\mathbb{Z}_7\) 의 각 원소를 대입하여 근이 있는지 확인한다.
\[ \begin{aligned} f(0)&=-1\equiv 6,\\ f(1)&=1+3-1=3,\\ f(2)&=16+12-1=27\equiv 6,\\ f(3)&=81+27-1=107\equiv 2,\\ f(4)&=256+48-1=303\equiv 2,\\ f(5)&=625+75-1=699\equiv 6,\\ f(6)&=1296+108-1=1403\equiv 3. \end{aligned} \]
어느 값에서도 \(0\) 이 되지 않으므로 \(f(x)\) 는 선형 인수를 가지지 않는다.
차수 \(4\) 인 다항식이 선형 인수를 가지지 않으면서 기약이 아니라면, 반드시 두 이차 다항식의 곱으로 인수분해 되어야 한다. 따라서
\[ x^{4}+3x^{2}-1=(x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d),\qquad a,b,c,d\in\mathbb{Z}_7 \]
라 둘 수 있다고 가정한다. 전개하면
\[ (x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d) = x^{4}+(a+c)x^{3}+(ac+b+d)x^{2}+(ad+bc)x+bd. \]
계수를 비교하면 다음 연립조건을 얻는다.
\[ \begin{cases} a+c=0,\\ ac+b+d=3,\\ ad+bc=0,\\ bd=-1\equiv 6. \end{cases} \]
첫 번째 식에서 \(c=-a\) 이고, 세 번째 식 \[ ad+bc=a d + b(-a)=a(d-b)=0 \] 이므로 \(a=0\) 이거나 \(d=b\) 이다. 두 경우를 나누어 본다.
1) \(a=0\) 인 경우 이때 \(c=0\), 두 번째 식은 \(b+d=3\), 네 번째 식은 \(bd=6\) 이다. \(\mathbb{Z}_7\) 에서 \(b+d=3,\,bd=6\) 을 만족하는 \((b,d)\) 쌍을 모두 검사해 보면 존재하지 않는다. 따라서 이 경우 불가능하다.
2) \(d=b\) 인 경우 이때 두 번째 식은 \[ -ac + b+d = -a^{2}+2b =3 \] 이므로 \[ 2b=3+a^{2}\quad\Rightarrow\quad b=\frac{3+a^{2}}{2} \] 이다. 네 번째 식은 \(b^{2}=6\) 이다. \(\mathbb{Z}_7\) 에서 제곱들(2차 잉여)은 \[ 0^{2}=0,\ 1^{2}=1,\ 2^{2}=4,\ 3^{2}\equiv 2,\ 4^{2}\equiv2,\ 5^{2}\equiv4,\ 6^{2}\equiv1 \] 이므로 가능한 값은 \(0,1,2,4\) 뿐이다. \(6\) 은 제곱이 될 수 없으므로 \(b^{2}=6\) 을 만족하는 \(b\) 는 존재하지 않는다.
따라서 어떤 경우에도 인수분해가 불가능하므로, \(f(x)\) 는 \(\mathbb{Z}_7[x]\) 에서 기약이다.
이제 \(\alpha\) 를 \(f(x)\) 의 하나의 근이라 하면, \(\mathbb{Z}_7(\alpha)\) 는 \(\mathbb{Z}_7\) 위에서 차수 \(4\) 의 단순 확대체이다. 즉
\[ [\mathbb{Z}_7(\alpha):\mathbb{Z}_7]=\deg f=4. \]
따라서 \(\mathbb{Z}_7(\alpha)\) 의 원소 수는
\[ |\mathbb{Z}_7(\alpha)| = 7^{4}=2401. \]
이 확장은 유한체 확장이므로 가환 갈루아 확장이고, 갈루아 군 \(G(\mathbb{Z}_7(\alpha)/\mathbb{Z}_7)\) 의 크기는
\[ |G(\mathbb{Z}_7(\alpha)/\mathbb{Z}_7)| = [\mathbb{Z}_7(\alpha):\mathbb{Z}_7] =4 \]
이다. 따라서 이 갈루아 군은 순환군 \(C_4\) 와 동형이다. 원소 \(\sigma\) 의 위수가 \(4\) 라고 했으므로, \(\sigma\) 는 이 순환군의 생성원이다.
부분군 \(\langle\sigma^{2}\rangle\) 의 위수는
\[ \operatorname{ord}(\sigma^{2}) = \frac{4}{\gcd(4,2)} = 2 \]
이므로 \(|\langle\sigma^{2}\rangle|=2\) 이다. 고정체 \(E\) 를 \(\langle\sigma^{2}\rangle\) 에 의해 고정되는 원소들의 집합이라 하면, 갈루아 이론의 기본정리에 의해
\[ [\mathbb{Z}_7(\alpha):E]=|\langle\sigma^{2}\rangle|=2. \]
또한 \[ [\mathbb{Z}_7(\alpha):\mathbb{Z}_7] = [\mathbb{Z}_7(\alpha):E]\,[E:\mathbb{Z}_7] \] 이므로
\[ 4 = 2\,[E:\mathbb{Z}_7] \quad\Rightarrow\quad [E:\mathbb{Z}_7]=2. \]
따라서 고정체 \(E\) 는 \(\mathbb{Z}_7\) 위에서 차수 \(2\) 의 유한체이고, 그 원소의 개수는
\[ |E| = 7^{[E:\mathbb{Z}_7]} = 7^{2} = 49. \]
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>