정답
\(c = 4,\quad P(X \ge 4) = \dfrac18,\quad\) 4개의 제품 중 우수 제품이 일반 제품보다 더 많이 포함될 확률은 \(\dfrac{29}{4096}\) 이다.
출제 의도
주어진 함수가 확률밀도함수(pdf)가 되도록 정규화 상수 \(c\)를 구하고, 이를 이용해 구간 확률을 적분으로 계산하는 능력을 평가한다. 이어서 한 제품이 우수 제품일 확률을 이용해, 4개의 제품을 임의로 선택했을 때 우수 제품의 개수가 더 많을 확률을 이항분포를 사용하여 구하도록 하는 문제이다.
풀이 과정
확률변수 \(X\)의 확률밀도함수 \(f(x)\)는 다음과 같다.
$$ f(x)= \begin{cases} \dfrac{c}{x^3}, & x>2,\\[4pt] \dfrac{c}{16}x, & 0\le x\le 2,\\[4pt] 0, & x<0. \end{cases} $$
먼저 \(f(x)\)가 확률밀도함수가 되려면 전체 구간에서의 적분값이 1이어야 한다.
$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_0^2 \frac{c}{16}x\,dx + \int_2^\infty \frac{c}{x^3}\,dx = 1. $$
각 적분을 계산하면,
$$ \int_0^2 \frac{c}{16}x\,dx = \frac{c}{16}\cdot\frac{x^2}{2}\Big|_{0}^{2} = \frac{c}{16}\cdot\frac{4}{2} = \frac{c}{8}, $$
$$ \int_2^\infty \frac{c}{x^3}\,dx = c\int_2^\infty x^{-3}\,dx = c\left[ -\frac{1}{2}x^{-2} \right]_{2}^{\infty} = c\left(0 – \left(-\frac{1}{2\cdot 2^2}\right)\right) = c\cdot\frac{1}{8} = \frac{c}{8}. $$
따라서
$$ \frac{c}{8} + \frac{c}{8} = \frac{c}{4} = 1 \quad\Rightarrow\quad c = 4. $$
이제 한 제품이 우수 제품일 확률 \(P(X\ge 4)\) 를 구한다. \(x\ge 4\) 구간에서의 밀도는 \(\dfrac{4}{x^3}\) 이므로,
$$ P(X\ge 4) = \int_4^\infty \frac{4}{x^3}\,dx = 4\int_4^\infty x^{-3}\,dx = 4\left[ -\frac{1}{2}x^{-2} \right]_{4}^{\infty} = 4\cdot\frac{1}{2\cdot 4^2} = 4\cdot\frac{1}{32} = \frac{1}{8}. $$
따라서 한 제품이 우수 제품일 확률은 \(\;p = P(\text{우수}) = \dfrac18\;\), 일반 제품일 확률은 \(\;q = P(\text{일반}) = 1-p = \dfrac78\;\) 이다.
임의로 4개의 제품을 선택할 때, 우수 제품이 일반 제품보다 “더 많이” 포함된다는 것은 우수 제품의 개수 \(Y\)가 \(3\)개 이상이라는 뜻이다. (\(4\)개 중 \(2\)개는 동수, \(3\)·\(4\)개는 우수 제품이 더 많음.)
각 제품의 우수/일반 여부는 독립이므로 \(Y\sim \mathrm{Bin}(4,p)\) 이고,
$$ P(\text{우수 제품이 더 많다}) = P(Y\ge 3) = P(Y=3)+P(Y=4). $$
각각 계산하면,
$$ P(Y=3) = \binom{4}{3}p^3 q = 4\left(\frac18\right)^3\left(\frac78\right) = 4\cdot\frac{1}{512}\cdot\frac{7}{8} = \frac{28}{4096} = \frac{7}{1024}, $$
$$ P(Y=4) = \binom{4}{4}p^4 = \left(\frac18\right)^4 = \frac{1}{4096}. $$
따라서 원하는 확률은
$$ P(Y\ge 3) = \frac{7}{1024} + \frac{1}{4096} = \frac{28}{4096} + \frac{1}{4096} = \frac{29}{4096}. $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>